Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12720 / 13104
↖ ↑ ↗
← N 33.870416°
W 40.253906°		 ← 1 014.33 m → N 33.870416°
W 40.242920°		 →
↑
1 014.39 m
↓
↑
1 014.39 m
↓
N 33.861293°
W 40.253906°		 ← 1 014.44 m →
1 028 979 m²		 N 33.861293°
W 40.242920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388198852539062 y=0.399917602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388198852539062 × 215)
    floor (0.388198852539062 × 32768)
    floor (12720.5)     		tx = 12720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.399917602539062 × 215)
    floor (0.399917602539062 × 32768)
    floor (13104.5)     		ty = 13104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12720 / 13104 ti = "15/12720/13104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12720/13104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12720 ÷ 215
    12720 ÷ 32768     		x = 0.38818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13104 ÷ 215
    13104 ÷ 32768     		y = 0.39990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38818359375 × 2 - 1) × π
    -0.2236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.70256320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39990234375 × 2 - 1) × π
    0.2001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.628932123015137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70256320} λ = -0.70256320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.628932123015137))-π/2
    2×atan(1.87560659233641)-π/2
    2×1.0809732985813-π/2
    2.1619465971626-1.57079632675     		φ = 0.59115027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70256320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.253906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59115027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.870416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12720 KachelY 13104 -0.70256320 0.59115027 -40.253906 33.870416
    Oben rechts KachelX + 1 12721 KachelY 13104 -0.70237145 0.59115027 -40.242920 33.870416
    Unten links KachelX 12720 KachelY + 1 13105 -0.70256320 0.59099105 -40.253906 33.861293
    Unten rechts KachelX + 1 12721 KachelY + 1 13105 -0.70237145 0.59099105 -40.242920 33.861293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59115027-0.59099105) × R
    0.000159220000000015 × 6371000     		dl = 1014.3906200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59115027-0.59099105) × R
    0.000159220000000015 × 6371000     		dr = 1014.3906200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70256320--0.70237145) × cos(0.59115027) × R
    0.000191750000000046 × 0.830300164129962 × 6371000     		do = 1014.32726978285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70256320--0.70237145) × cos(0.59099105) × R
    0.000191750000000046 × 0.830388889531998 × 6371000     		du = 1014.43566021645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59115027)-sin(0.59099105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830300164129962-0.830388889531998)×R²
    abs(-0.70237145--0.70256320)×8.87254020357497e-05×R²
    0.000191750000000046×8.87254020357497e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.87254020357497e-05×40589641000000     		ar = 1028979.04537112m²