Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12720 / 12208
↖ ↑ ↗
← S 65.802776°
E 99.492187°		 ← 1 001.45 m → S 65.802776°
E 99.514160°		 →
↑
1 001.27 m
↓
↑
1 001.27 m
↓
S 65.811781°
E 99.492187°		 ← 1 001.10 m →
1 002 541 m²		 S 65.811781°
E 99.514160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776397705078125 y=0.745147705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776397705078125 × 214)
    floor (0.776397705078125 × 16384)
    floor (12720.5)     		tx = 12720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745147705078125 × 214)
    floor (0.745147705078125 × 16384)
    floor (12208.5)     		ty = 12208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12720 / 12208 ti = "14/12720/12208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12720/12208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12720 ÷ 214
    12720 ÷ 16384     		x = 0.7763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12208 ÷ 214
    12208 ÷ 16384     		y = 0.7451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7763671875 × 2 - 1) × π
    0.552734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73646625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7451171875 × 2 - 1) × π
    -0.490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54011671099316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73646625} λ = 1.73646625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54011671099316))-π/2
    2×atan(0.214356082255749)-π/2
    2×0.211160610897234-π/2
    0.422321221794468-1.57079632675     		φ = -1.14847510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73646625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.492187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14847510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.802776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12720 KachelY 12208 1.73646625 -1.14847510 99.492187 -65.802776
    Oben rechts KachelX + 1 12721 KachelY 12208 1.73684975 -1.14847510 99.514160 -65.802776
    Unten links KachelX 12720 KachelY + 1 12209 1.73646625 -1.14863226 99.492187 -65.811781
    Unten rechts KachelX + 1 12721 KachelY + 1 12209 1.73684975 -1.14863226 99.514160 -65.811781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14847510--1.14863226) × R
    0.000157160000000101 × 6371000     		dl = 1001.26636000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14847510--1.14863226) × R
    0.000157160000000101 × 6371000     		dr = 1001.26636000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73646625-1.73684975) × cos(-1.14847510) × R
    0.00038349999999987 × 0.409878839145317 × 6371000     		do = 1001.44815528837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73646625-1.73684975) × cos(-1.14863226) × R
    0.00038349999999987 × 0.409735482165305 × 6371000     		du = 1001.09789426128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14847510)-sin(-1.14863226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409878839145317-0.409735482165305)×R²
    abs(1.73684975-1.73646625)×0.000143356980012166×R²
    0.00038349999999987×0.000143356980012166×6371000²
    0.00038349999999987×0.000143356980012166×40589641000000     		ar = 1002540.99894606m²