Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12719 / 12015
↖ ↑ ↗
← S 64.004867°
E 99.470215°		 ← 1 070.85 m → S 64.004867°
E 99.492187°		 →
↑
1 070.71 m
↓
↑
1 070.71 m
↓
S 64.014496°
E 99.470215°		 ← 1 070.48 m →
1 146 371 m²		 S 64.014496°
E 99.492187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776336669921875 y=0.733367919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776336669921875 × 214)
    floor (0.776336669921875 × 16384)
    floor (12719.5)     		tx = 12719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733367919921875 × 214)
    floor (0.733367919921875 × 16384)
    floor (12015.5)     		ty = 12015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12719 / 12015 ti = "14/12719/12015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12719/12015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12719 ÷ 214
    12719 ÷ 16384     		x = 0.77630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12015 ÷ 214
    12015 ÷ 16384     		y = 0.73333740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77630615234375 × 2 - 1) × π
    0.5526123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73608276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73333740234375 × 2 - 1) × π
    -0.4666748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4661021379798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73608276} λ = 1.73608276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4661021379798))-π/2
    2×atan(0.230823451941239)-π/2
    2×0.226850327094348-π/2
    0.453700654188697-1.57079632675     		φ = -1.11709567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73608276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.470215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11709567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.004867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12719 KachelY 12015 1.73608276 -1.11709567 99.470215 -64.004867
    Oben rechts KachelX + 1 12720 KachelY 12015 1.73646625 -1.11709567 99.492187 -64.004867
    Unten links KachelX 12719 KachelY + 1 12016 1.73608276 -1.11726373 99.470215 -64.014496
    Unten rechts KachelX + 1 12720 KachelY + 1 12016 1.73646625 -1.11726373 99.492187 -64.014496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11709567--1.11726373) × R
    0.000168059999999803 × 6371000     		dl = 1070.71025999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11709567--1.11726373) × R
    0.000168059999999803 × 6371000     		dr = 1070.71025999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73608276-1.73646625) × cos(-1.11709567) × R
    0.000383490000000153 × 0.438294793800425 × 6371000     		do = 1070.84832259363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73608276-1.73646625) × cos(-1.11726373) × R
    0.000383490000000153 × 0.438143730026227 × 6371000     		du = 1070.47924134627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11709567)-sin(-1.11726373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438294793800425-0.438143730026227)×R²
    abs(1.73646625-1.73608276)×0.000151063774197657×R²
    0.000383490000000153×0.000151063774197657×6371000²
    0.000383490000000153×0.000151063774197657×40589641000000     		ar = 1146370.69906131m²