Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 127186 / 85742
↖ ↑ ↗
← S 48.425555°
E169.326782°		 ← 202.68 m → S 48.425555°
E169.329529°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
S 48.427378°
E169.326782°		 ← 202.67 m →
41 074 m²		 S 48.427378°
E169.329529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 127186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.970355987548828 y=0.654163360595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.970355987548828 × 217)
    floor (0.970355987548828 × 131072)
    floor (127186.5)     		tx = 127186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654163360595703 × 217)
    floor (0.654163360595703 × 131072)
    floor (85742.5)     		ty = 85742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 127186 / 85742 ti = "17/127186/85742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/127186/85742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 127186 ÷ 217
    127186 ÷ 131072     		x = 0.970352172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85742 ÷ 217
    85742 ÷ 131072     		y = 0.654159545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.970352172851562 × 2 - 1) × π
    0.940704345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.95530986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654159545898438 × 2 - 1) × π
    -0.308319091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.968612993722855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95530986} λ = 2.95530986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968612993722855))-π/2
    2×atan(0.37960919346285)-π/2
    2×0.362805470936466-π/2
    0.725610941872933-1.57079632675     		φ = -0.84518538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95530986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.326782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84518538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.425555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 127186 KachelY 85742 2.95530986 -0.84518538 169.326782 -48.425555
    Oben rechts KachelX + 1 127187 KachelY 85742 2.95535780 -0.84518538 169.329529 -48.425555
    Unten links KachelX 127186 KachelY + 1 85743 2.95530986 -0.84521719 169.326782 -48.427378
    Unten rechts KachelX + 1 127187 KachelY + 1 85743 2.95535780 -0.84521719 169.329529 -48.427378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84518538--0.84521719) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dl = 202.66150999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84518538--0.84521719) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dr = 202.66150999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95530986-2.95535780) × cos(-0.84518538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663592612198101 × 6371000     		do = 202.678264639005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95530986-2.95535780) × cos(-0.84521719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663568814987717 × 6371000     		du = 202.670996358414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84518538)-sin(-0.84521719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663592612198101-0.663568814987717)×R²
    abs(2.95535780-2.95530986)×2.37972103841466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37972103841466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37972103841466e-05×40589641000000     		ar = 41074.3466589721m²