Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12716 / 12190
↖ ↑ ↗
← S 65.640155°
E 99.404297°		 ← 1 007.77 m → S 65.640155°
E 99.426270°		 →
↑
1 007.64 m
↓
↑
1 007.64 m
↓
S 65.649217°
E 99.404297°		 ← 1 007.42 m →
1 015 289 m²		 S 65.649217°
E 99.426270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776153564453125 y=0.744049072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776153564453125 × 214)
    floor (0.776153564453125 × 16384)
    floor (12716.5)     		tx = 12716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744049072265625 × 214)
    floor (0.744049072265625 × 16384)
    floor (12190.5)     		ty = 12190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12716 / 12190 ti = "14/12716/12190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12716/12190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12716 ÷ 214
    12716 ÷ 16384     		x = 0.776123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12190 ÷ 214
    12190 ÷ 16384     		y = 0.7440185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776123046875 × 2 - 1) × π
    0.55224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73493227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7440185546875 × 2 - 1) × π
    -0.488037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53321379744788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73493227} λ = 1.73493227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53321379744788))-π/2
    2×atan(0.215840882587713)-π/2
    2×0.212579751145876-π/2
    0.425159502291752-1.57079632675     		φ = -1.14563682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73493227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.404297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14563682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.640155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12716 KachelY 12190 1.73493227 -1.14563682 99.404297 -65.640155
    Oben rechts KachelX + 1 12717 KachelY 12190 1.73531577 -1.14563682 99.426270 -65.640155
    Unten links KachelX 12716 KachelY + 1 12191 1.73493227 -1.14579498 99.404297 -65.649217
    Unten rechts KachelX + 1 12717 KachelY + 1 12191 1.73531577 -1.14579498 99.426270 -65.649217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14563682--1.14579498) × R
    0.000158160000000018 × 6371000     		dl = 1007.63736000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14563682--1.14579498) × R
    0.000158160000000018 × 6371000     		dr = 1007.63736000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73493227-1.73531577) × cos(-1.14563682) × R
    0.00038349999999987 × 0.41246609336591 × 6371000     		do = 1007.76953789958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73493227-1.73531577) × cos(-1.14579498) × R
    0.00038349999999987 × 0.412322008725367 × 6371000     		du = 1007.41749899516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14563682)-sin(-1.14579498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41246609336591-0.412322008725367)×R²
    abs(1.73531577-1.73493227)×0.000144084640543052×R²
    0.00038349999999987×0.000144084640543052×6371000²
    0.00038349999999987×0.000144084640543052×40589641000000     		ar = 1015288.87499868m²