Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12715 / 12189
↖ ↑ ↗
← S 65.631090°
E 99.382324°		 ← 1 008.10 m → S 65.631090°
E 99.404297°		 →
↑
1 007.89 m
↓
↑
1 007.89 m
↓
S 65.640155°
E 99.382324°		 ← 1 007.74 m →
1 015 874 m²		 S 65.640155°
E 99.404297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776092529296875 y=0.743988037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776092529296875 × 214)
    floor (0.776092529296875 × 16384)
    floor (12715.5)     		tx = 12715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743988037109375 × 214)
    floor (0.743988037109375 × 16384)
    floor (12189.5)     		ty = 12189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12715 / 12189 ti = "14/12715/12189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12715/12189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12715 ÷ 214
    12715 ÷ 16384     		x = 0.77606201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12189 ÷ 214
    12189 ÷ 16384     		y = 0.74395751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77606201171875 × 2 - 1) × π
    0.5521240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73454878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74395751953125 × 2 - 1) × π
    -0.4879150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53283030225092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73454878} λ = 1.73454878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53283030225092))-π/2
    2×atan(0.215923672403226)-π/2
    2×0.212658854344312-π/2
    0.425317708688624-1.57079632675     		φ = -1.14547862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73454878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.382324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14547862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.631090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12715 KachelY 12189 1.73454878 -1.14547862 99.382324 -65.631090
    Oben rechts KachelX + 1 12716 KachelY 12189 1.73493227 -1.14547862 99.404297 -65.631090
    Unten links KachelX 12715 KachelY + 1 12190 1.73454878 -1.14563682 99.382324 -65.640155
    Unten rechts KachelX + 1 12716 KachelY + 1 12190 1.73493227 -1.14563682 99.404297 -65.640155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14547862--1.14563682) × R
    0.000158199999999997 × 6371000     		dl = 1007.89219999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14547862--1.14563682) × R
    0.000158199999999997 × 6371000     		dr = 1007.89219999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73454878-1.73493227) × cos(-1.14547862) × R
    0.000383490000000153 × 0.412610204125093 × 6371000     		do = 1008.09535322375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73454878-1.73493227) × cos(-1.14563682) × R
    0.000383490000000153 × 0.41246609336591 × 6371000     		du = 1007.74325968551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14547862)-sin(-1.14563682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412610204125093-0.41246609336591)×R²
    abs(1.73493227-1.73454878)×0.000144110759182525×R²
    0.000383490000000153×0.000144110759182525×6371000²
    0.000383490000000153×0.000144110759182525×40589641000000     		ar = 1015874.00932278m²