Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12711 / 12129
↖ ↑ ↗
← S 65.081390°
E 99.294434°		 ← 1 029.40 m → S 65.081390°
E 99.316406°		 →
↑
1 029.24 m
↓
↑
1 029.24 m
↓
S 65.090646°
E 99.294434°		 ← 1 029.04 m →
1 059 311 m²		 S 65.090646°
E 99.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775848388671875 y=0.740325927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775848388671875 × 214)
    floor (0.775848388671875 × 16384)
    floor (12711.5)     		tx = 12711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740325927734375 × 214)
    floor (0.740325927734375 × 16384)
    floor (12129.5)     		ty = 12129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12711 / 12129 ti = "14/12711/12129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12711/12129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12711 ÷ 214
    12711 ÷ 16384     		x = 0.77581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12129 ÷ 214
    12129 ÷ 16384     		y = 0.74029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77581787109375 × 2 - 1) × π
    0.5516357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73301480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.4805908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50982059043329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73301480} λ = 1.73301480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50982059043329))-π/2
    2×atan(0.220949614878321)-π/2
    2×0.217455899621429-π/2
    0.434911799242859-1.57079632675     		φ = -1.13588453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73301480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.294434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13588453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.081390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12711 KachelY 12129 1.73301480 -1.13588453 99.294434 -65.081390
    Oben rechts KachelX + 1 12712 KachelY 12129 1.73339829 -1.13588453 99.316406 -65.081390
    Unten links KachelX 12711 KachelY + 1 12130 1.73301480 -1.13604608 99.294434 -65.090646
    Unten rechts KachelX + 1 12712 KachelY + 1 12130 1.73339829 -1.13604608 99.316406 -65.090646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13588453--1.13604608) × R
    0.000161550000000066 × 6371000     		dl = 1029.23505000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13588453--1.13604608) × R
    0.000161550000000066 × 6371000     		dr = 1029.23505000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73301480-1.73339829) × cos(-1.13588453) × R
    0.000383489999999931 × 0.421330410883163 × 6371000     		do = 1029.40069134634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73301480-1.73339829) × cos(-1.13604608) × R
    0.000383489999999931 × 0.421183894526239 × 6371000     		du = 1029.04272041612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13588453)-sin(-1.13604608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421330410883163-0.421183894526239)×R²
    abs(1.73339829-1.73301480)×0.00014651635692442×R²
    0.000383489999999931×0.00014651635692442×6371000²
    0.000383489999999931×0.00014651635692442×40589641000000     		ar = 1059311.05621769m²