Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 127102 / 85892
↖ ↑ ↗
← S 48.698212°
E169.096069°		 ← 201.59 m → S 48.698212°
E169.098816°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
S 48.700025°
E169.096069°		 ← 201.58 m →
40 635 m²		 S 48.700025°
E169.098816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 127102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.969715118408203 y=0.655307769775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.969715118408203 × 217)
    floor (0.969715118408203 × 131072)
    floor (127102.5)     		tx = 127102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655307769775391 × 217)
    floor (0.655307769775391 × 131072)
    floor (85892.5)     		ty = 85892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 127102 / 85892 ti = "17/127102/85892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/127102/85892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 127102 ÷ 217
    127102 ÷ 131072     		x = 0.969711303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85892 ÷ 217
    85892 ÷ 131072     		y = 0.655303955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.969711303710938 × 2 - 1) × π
    0.939422607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.95128316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655303955078125 × 2 - 1) × π
    -0.31060791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.975803528665863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95128316} λ = 2.95128316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975803528665863))-π/2
    2×atan(0.376889390430606)-π/2
    2×0.360426092344183-π/2
    0.720852184688367-1.57079632675     		φ = -0.84994414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95128316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.096069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84994414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.698212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 127102 KachelY 85892 2.95128316 -0.84994414 169.096069 -48.698212
    Oben rechts KachelX + 1 127103 KachelY 85892 2.95133110 -0.84994414 169.098816 -48.698212
    Unten links KachelX 127102 KachelY + 1 85893 2.95128316 -0.84997578 169.096069 -48.700025
    Unten rechts KachelX + 1 127103 KachelY + 1 85893 2.95133110 -0.84997578 169.098816 -48.700025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84994414--0.84997578) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dl = 201.578439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84994414--0.84997578) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dr = 201.578439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95128316-2.95133110) × cos(-0.84994414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660025111378706 × 6371000     		do = 201.588658061291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95128316-2.95133110) × cos(-0.84997578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660001341702817 × 6371000     		du = 201.581398190444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84994414)-sin(-0.84997578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660025111378706-0.660001341702817)×R²
    abs(2.95133110-2.95128316)×2.37696758886852e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37696758886852e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37696758886852e-05×40589641000000     		ar = 40635.1955002629m²