Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12709 / 20531
↖ ↑ ↗
← S 41.401536°
W 40.374756°		 ← 916.30 m → S 41.401536°
W 40.363770°		 →
↑
916.28 m
↓
↑
916.28 m
↓
S 41.409776°
W 40.374756°		 ← 916.18 m →
839 528 m²		 S 41.409776°
W 40.363770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387863159179688 y=0.626571655273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387863159179688 × 215)
    floor (0.387863159179688 × 32768)
    floor (12709.5)     		tx = 12709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626571655273438 × 215)
    floor (0.626571655273438 × 32768)
    floor (20531.5)     		ty = 20531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12709 / 20531 ti = "15/12709/20531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12709/20531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12709 ÷ 215
    12709 ÷ 32768     		x = 0.387847900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20531 ÷ 215
    20531 ÷ 32768     		y = 0.626556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.387847900390625 × 2 - 1) × π
    -0.22430419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.70467242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.25311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.795177290897491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70467242} λ = -0.70467242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795177290897491))-π/2
    2×atan(0.451501180776808)-π/2
    2×0.424101607754388-π/2
    0.848203215508777-1.57079632675     		φ = -0.72259311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70467242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.374756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72259311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.401536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12709 KachelY 20531 -0.70467242 -0.72259311 -40.374756 -41.401536
    Oben rechts KachelX + 1 12710 KachelY 20531 -0.70448068 -0.72259311 -40.363770 -41.401536
    Unten links KachelX 12709 KachelY + 1 20532 -0.70467242 -0.72273693 -40.374756 -41.409776
    Unten rechts KachelX + 1 12710 KachelY + 1 20532 -0.70448068 -0.72273693 -40.363770 -41.409776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72259311--0.72273693) × R
    0.000143820000000017 × 6371000     		dl = 916.277220000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72259311--0.72273693) × R
    0.000143820000000017 × 6371000     		dr = 916.277220000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70467242--0.70448068) × cos(-0.72259311) × R
    0.000191739999999996 × 0.750093346418455 × 6371000     		do = 916.295684701512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70467242--0.70448068) × cos(-0.72273693) × R
    0.000191739999999996 × 0.749998225897634 × 6371000     		du = 916.179487799924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72259311)-sin(-0.72273693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750093346418455-0.749998225897634)×R²
    abs(-0.70448068--0.70467242)×9.51205208213901e-05×R²
    0.000191739999999996×9.51205208213901e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.51205208213901e-05×40589641000000     		ar = 839527.629836833m²