Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12709 / 12167
↖ ↑ ↗
← S 65.430867°
E 99.250488°		 ← 1 015.89 m → S 65.430867°
E 99.272461°		 →
↑
1 015.66 m
↓
↑
1 015.66 m
↓
S 65.440002°
E 99.250488°		 ← 1 015.54 m →
1 031 627 m²		 S 65.440002°
E 99.272461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775726318359375 y=0.742645263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775726318359375 × 214)
    floor (0.775726318359375 × 16384)
    floor (12709.5)     		tx = 12709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742645263671875 × 214)
    floor (0.742645263671875 × 16384)
    floor (12167.5)     		ty = 12167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12709 / 12167 ti = "14/12709/12167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12709/12167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12709 ÷ 214
    12709 ÷ 16384     		x = 0.77569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12167 ÷ 214
    12167 ÷ 16384     		y = 0.74261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77569580078125 × 2 - 1) × π
    0.5513916015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73224780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74261474609375 × 2 - 1) × π
    -0.4852294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52439340791779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73224780} λ = 1.73224780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52439340791779))-π/2
    2×atan(0.217753104120611)-π/2
    2×0.214406130674257-π/2
    0.428812261348514-1.57079632675     		φ = -1.14198407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73224780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.250488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14198407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.430867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12709 KachelY 12167 1.73224780 -1.14198407 99.250488 -65.430867
    Oben rechts KachelX + 1 12710 KachelY 12167 1.73263130 -1.14198407 99.272461 -65.430867
    Unten links KachelX 12709 KachelY + 1 12168 1.73224780 -1.14214349 99.250488 -65.440002
    Unten rechts KachelX + 1 12710 KachelY + 1 12168 1.73263130 -1.14214349 99.272461 -65.440002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14198407--1.14214349) × R
    0.000159420000000132 × 6371000     		dl = 1015.66482000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14198407--1.14214349) × R
    0.000159420000000132 × 6371000     		dr = 1015.66482000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73224780-1.73263130) × cos(-1.14198407) × R
    0.000383500000000092 × 0.415790890743349 × 6371000     		do = 1015.89294384932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73224780-1.73263130) × cos(-1.14214349) × R
    0.000383500000000092 × 0.415645899308277 × 6371000     		du = 1015.53868939332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14198407)-sin(-1.14214349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415790890743349-0.415645899308277)×R²
    abs(1.73263130-1.73224780)×0.00014499143507124×R²
    0.000383500000000092×0.00014499143507124×6371000²
    0.000383500000000092×0.00014499143507124×40589641000000     		ar = 1031626.82424596m²