Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 127087 / 85850
↖ ↑ ↗
← S 48.622017°
E169.054871°		 ← 201.89 m → S 48.622017°
E169.057617°		 →
↑
201.83 m
↓
↑
201.83 m
↓
S 48.623832°
E169.054871°		 ← 201.89 m →
40 748 m²		 S 48.623832°
E169.057617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 127087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.969600677490234 y=0.654987335205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.969600677490234 × 217)
    floor (0.969600677490234 × 131072)
    floor (127087.5)     		tx = 127087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654987335205078 × 217)
    floor (0.654987335205078 × 131072)
    floor (85850.5)     		ty = 85850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 127087 / 85850 ti = "17/127087/85850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/127087/85850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 127087 ÷ 217
    127087 ÷ 131072     		x = 0.969596862792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85850 ÷ 217
    85850 ÷ 131072     		y = 0.654983520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.969596862792969 × 2 - 1) × π
    0.939193725585938 × 3.1415926535     		Λ = 2.95056411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654983520507812 × 2 - 1) × π
    -0.309967041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.973790178881821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95056411} λ = 2.95056411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.973790178881821))-π/2
    2×atan(0.377648964991494)-π/2
    2×0.361091025588874-π/2
    0.722182051177747-1.57079632675     		φ = -0.84861428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95056411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.054871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84861428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.622017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 127087 KachelY 85850 2.95056411 -0.84861428 169.054871 -48.622017
    Oben rechts KachelX + 1 127088 KachelY 85850 2.95061205 -0.84861428 169.057617 -48.622017
    Unten links KachelX 127087 KachelY + 1 85851 2.95056411 -0.84864596 169.054871 -48.623832
    Unten rechts KachelX + 1 127088 KachelY + 1 85851 2.95061205 -0.84864596 169.057617 -48.623832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84861428--0.84864596) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dl = 201.833279999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84861428--0.84864596) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dr = 201.833279999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95056411-2.95061205) × cos(-0.84861428) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661023576178525 × 6371000     		do = 201.89361491164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95056411-2.95061205) × cos(-0.84864596) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660999804279429 × 6371000     		du = 201.886354361767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84861428)-sin(-0.84864596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661023576178525-0.660999804279429)×R²
    abs(2.95061205-2.95056411)×2.3771899095526e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3771899095526e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3771899095526e-05×40589641000000     		ar = 40748.1178017839m²