Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 127081 / 85866
↖ ↑ ↗
← S 48.651057°
E169.038391°		 ← 201.74 m → S 48.651057°
E169.041137°		 →
↑
201.77 m
↓
↑
201.77 m
↓
S 48.652872°
E169.038391°		 ← 201.73 m →
40 703 m²		 S 48.652872°
E169.041137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 127081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.969554901123047 y=0.655109405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.969554901123047 × 217)
    floor (0.969554901123047 × 131072)
    floor (127081.5)     		tx = 127081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655109405517578 × 217)
    floor (0.655109405517578 × 131072)
    floor (85866.5)     		ty = 85866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 127081 / 85866 ti = "17/127081/85866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/127081/85866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 127081 ÷ 217
    127081 ÷ 131072     		x = 0.969551086425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85866 ÷ 217
    85866 ÷ 131072     		y = 0.655105590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.969551086425781 × 2 - 1) × π
    0.939102172851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.95027649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655105590820312 × 2 - 1) × π
    -0.310211181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.974557169275742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95027649} λ = 2.95027649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974557169275742))-π/2
    2×atan(0.377359422915261)-π/2
    2×0.360837599165269-π/2
    0.721675198330539-1.57079632675     		φ = -0.84912113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95027649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.038391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84912113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.651057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 127081 KachelY 85866 2.95027649 -0.84912113 169.038391 -48.651057
    Oben rechts KachelX + 1 127082 KachelY 85866 2.95032442 -0.84912113 169.041137 -48.651057
    Unten links KachelX 127081 KachelY + 1 85867 2.95027649 -0.84915280 169.038391 -48.652872
    Unten rechts KachelX + 1 127082 KachelY + 1 85867 2.95032442 -0.84915280 169.041137 -48.652872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84912113--0.84915280) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dl = 201.76957000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84912113--0.84915280) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dr = 201.76957000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95027649-2.95032442) × cos(-0.84912113) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.660643168720055 × 6371000     		do = 201.735339106112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95027649-2.95032442) × cos(-0.84915280) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.660619393717353 × 6371000     		du = 201.728079123024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84912113)-sin(-0.84915280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660643168720055-0.660619393717353)×R²
    abs(2.95032442-2.95027649)×2.37750027016759e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37750027016759e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37750027016759e-05×40589641000000     		ar = 40703.3202069573m²