Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12708 / 12168
↖ ↑ ↗
← S 65.440002°
E 99.228516°		 ← 1 015.51 m → S 65.440002°
E 99.250488°		 →
↑
1 015.35 m
↓
↑
1 015.35 m
↓
S 65.449133°
E 99.228516°		 ← 1 015.16 m →
1 030 917 m²		 S 65.449133°
E 99.250488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775665283203125 y=0.742706298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775665283203125 × 214)
    floor (0.775665283203125 × 16384)
    floor (12708.5)     		tx = 12708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742706298828125 × 214)
    floor (0.742706298828125 × 16384)
    floor (12168.5)     		ty = 12168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12708 / 12168 ti = "14/12708/12168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12708/12168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12708 ÷ 214
    12708 ÷ 16384     		x = 0.775634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12168 ÷ 214
    12168 ÷ 16384     		y = 0.74267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775634765625 × 2 - 1) × π
    0.55126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73186431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74267578125 × 2 - 1) × π
    -0.4853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52477690311475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73186431} λ = 1.73186431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52477690311475))-π/2
    2×atan(0.217669612861329)-π/2
    2×0.214326417670736-π/2
    0.428652835341472-1.57079632675     		φ = -1.14214349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73186431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.228516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14214349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.440002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12708 KachelY 12168 1.73186431 -1.14214349 99.228516 -65.440002
    Oben rechts KachelX + 1 12709 KachelY 12168 1.73224780 -1.14214349 99.250488 -65.440002
    Unten links KachelX 12708 KachelY + 1 12169 1.73186431 -1.14230286 99.228516 -65.449133
    Unten rechts KachelX + 1 12709 KachelY + 1 12169 1.73224780 -1.14230286 99.250488 -65.449133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14214349--1.14230286) × R
    0.000159369999999992 × 6371000     		dl = 1015.34626999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14214349--1.14230286) × R
    0.000159369999999992 × 6371000     		dr = 1015.34626999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73186431-1.73224780) × cos(-1.14214349) × R
    0.000383489999999931 × 0.415645899308277 × 6371000     		do = 1015.51220859265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73186431-1.73224780) × cos(-1.14230286) × R
    0.000383489999999931 × 0.415500942789313 × 6371000     		du = 1015.15804868161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14214349)-sin(-1.14230286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415645899308277-0.415500942789313)×R²
    abs(1.73224780-1.73186431)×0.000144956518964123×R²
    0.000383489999999931×0.000144956518964123×6371000²
    0.000383489999999931×0.000144956518964123×40589641000000     		ar = 1030916.73784351m²