Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12707 / 12067
↖ ↑ ↗
← S 64.501186°
E 99.206543°		 ← 1 051.81 m → S 64.501186°
E 99.228516°		 →
↑
1 051.66 m
↓
↑
1 051.66 m
↓
S 64.510643°
E 99.206543°		 ← 1 051.45 m →
1 105 959 m²		 S 64.510643°
E 99.228516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775604248046875 y=0.736541748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775604248046875 × 214)
    floor (0.775604248046875 × 16384)
    floor (12707.5)     		tx = 12707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736541748046875 × 214)
    floor (0.736541748046875 × 16384)
    floor (12067.5)     		ty = 12067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12707 / 12067 ti = "14/12707/12067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12707/12067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12707 ÷ 214
    12707 ÷ 16384     		x = 0.77557373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12067 ÷ 214
    12067 ÷ 16384     		y = 0.73651123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77557373046875 × 2 - 1) × π
    0.5511474609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73148081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73651123046875 × 2 - 1) × π
    -0.4730224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48604388822174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73148081} λ = 1.73148081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48604388822174))-π/2
    2×atan(0.226266020918006)-π/2
    2×0.2225191320744-π/2
    0.4450382641488-1.57079632675     		φ = -1.12575806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73148081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.206543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12575806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.501186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12707 KachelY 12067 1.73148081 -1.12575806 99.206543 -64.501186
    Oben rechts KachelX + 1 12708 KachelY 12067 1.73186431 -1.12575806 99.228516 -64.501186
    Unten links KachelX 12707 KachelY + 1 12068 1.73148081 -1.12592313 99.206543 -64.510643
    Unten rechts KachelX + 1 12708 KachelY + 1 12068 1.73186431 -1.12592313 99.228516 -64.510643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12575806--1.12592313) × R
    0.000165070000000211 × 6371000     		dl = 1051.66097000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12575806--1.12592313) × R
    0.000165070000000211 × 6371000     		dr = 1051.66097000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73148081-1.73186431) × cos(-1.12575806) × R
    0.00038349999999987 × 0.430492420002935 × 6371000     		do = 1051.81287420578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73148081-1.73186431) × cos(-1.12592313) × R
    0.00038349999999987 × 0.430343422915205 × 6371000     		du = 1051.44883282477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12575806)-sin(-1.12592313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430492420002935-0.430343422915205)×R²
    abs(1.73186431-1.73148081)×0.00014899708772953×R²
    0.00038349999999987×0.00014899708772953×6371000²
    0.00038349999999987×0.00014899708772953×40589641000000     		ar = 1105959.12600329m²