Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12706 / 12322
↖ ↑ ↗
← S 66.809221°
E 99.184570°		 ← 962.12 m → S 66.809221°
E 99.206543°		 →
↑
961.96 m
↓
↑
961.96 m
↓
S 66.817872°
E 99.184570°		 ← 961.78 m →
925 358 m²		 S 66.817872°
E 99.206543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775543212890625 y=0.752105712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775543212890625 × 214)
    floor (0.775543212890625 × 16384)
    floor (12706.5)     		tx = 12706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752105712890625 × 214)
    floor (0.752105712890625 × 16384)
    floor (12322.5)     		ty = 12322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12706 / 12322 ti = "14/12706/12322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12706/12322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12706 ÷ 214
    12706 ÷ 16384     		x = 0.7755126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12322 ÷ 214
    12322 ÷ 16384     		y = 0.7520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7755126953125 × 2 - 1) × π
    0.551025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73109732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.504150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58383516344666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73109732} λ = 1.73109732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58383516344666))-π/2
    2×atan(0.205186662892861)-π/2
    2×0.20237772505768-π/2
    0.40475545011536-1.57079632675     		φ = -1.16604088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73109732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16604088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.809221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12706 KachelY 12322 1.73109732 -1.16604088 99.184570 -66.809221
    Oben rechts KachelX + 1 12707 KachelY 12322 1.73148081 -1.16604088 99.206543 -66.809221
    Unten links KachelX 12706 KachelY + 1 12323 1.73109732 -1.16619187 99.184570 -66.817872
    Unten rechts KachelX + 1 12707 KachelY + 1 12323 1.73148081 -1.16619187 99.206543 -66.817872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16604088--1.16619187) × R
    0.000150990000000073 × 6371000     		dl = 961.957290000465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16604088--1.16619187) × R
    0.000150990000000073 × 6371000     		dr = 961.957290000465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73109732-1.73148081) × cos(-1.16604088) × R
    0.000383490000000153 × 0.39379397915358 × 6371000     		do = 962.123274081361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73109732-1.73148081) × cos(-1.16619187) × R
    0.000383490000000153 × 0.393655184849278 × 6371000     		du = 961.784169784323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16604088)-sin(-1.16619187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39379397915358-0.393655184849278)×R²
    abs(1.73148081-1.73109732)×0.000138794304302026×R²
    0.000383490000000153×0.000138794304302026×6371000²
    0.000383490000000153×0.000138794304302026×40589641000000     		ar = 925358.397214432m²