Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12706 / 12166
↖ ↑ ↗
← S 65.421729°
E 99.184570°		 ← 1 016.22 m → S 65.421729°
E 99.206543°		 →
↑
1 016.11 m
↓
↑
1 016.11 m
↓
S 65.430867°
E 99.184570°		 ← 1 015.87 m →
1 032 413 m²		 S 65.430867°
E 99.206543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775543212890625 y=0.742584228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775543212890625 × 214)
    floor (0.775543212890625 × 16384)
    floor (12706.5)     		tx = 12706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742584228515625 × 214)
    floor (0.742584228515625 × 16384)
    floor (12166.5)     		ty = 12166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12706 / 12166 ti = "14/12706/12166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12706/12166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12706 ÷ 214
    12706 ÷ 16384     		x = 0.7755126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12166 ÷ 214
    12166 ÷ 16384     		y = 0.7425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7755126953125 × 2 - 1) × π
    0.551025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73109732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7425537109375 × 2 - 1) × π
    -0.485107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52400991272083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73109732} λ = 1.73109732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52400991272083))-π/2
    2×atan(0.21783662740453)-π/2
    2×0.214485871484421-π/2
    0.428971742968842-1.57079632675     		φ = -1.14182458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73109732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14182458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.421729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12706 KachelY 12166 1.73109732 -1.14182458 99.184570 -65.421729
    Oben rechts KachelX + 1 12707 KachelY 12166 1.73148081 -1.14182458 99.206543 -65.421729
    Unten links KachelX 12706 KachelY + 1 12167 1.73109732 -1.14198407 99.184570 -65.430867
    Unten rechts KachelX + 1 12707 KachelY + 1 12167 1.73148081 -1.14198407 99.206543 -65.430867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14182458--1.14198407) × R
    0.000159489999999929 × 6371000     		dl = 1016.11078999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14182458--1.14198407) × R
    0.000159489999999929 × 6371000     		dr = 1016.11078999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73109732-1.73148081) × cos(-1.14182458) × R
    0.000383490000000153 × 0.415935935268779 × 6371000     		do = 1016.22082874157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73109732-1.73148081) × cos(-1.14198407) × R
    0.000383490000000153 × 0.415790890743349 × 6371000     		du = 1015.86645381183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14182458)-sin(-1.14198407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415935935268779-0.415790890743349)×R²
    abs(1.73148081-1.73109732)×0.000145044525430404×R²
    0.000383490000000153×0.000145044525430404×6371000²
    0.000383490000000153×0.000145044525430404×40589641000000     		ar = 1032412.90920123m²