Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 127059 / 85871
↖ ↑ ↗
← S 48.660129°
E168.977967°		 ← 201.70 m → S 48.660129°
E168.980713°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
S 48.661943°
E168.977967°		 ← 201.69 m →
40 683 m²		 S 48.661943°
E168.980713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 127059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.969387054443359 y=0.655147552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.969387054443359 × 217)
    floor (0.969387054443359 × 131072)
    floor (127059.5)     		tx = 127059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655147552490234 × 217)
    floor (0.655147552490234 × 131072)
    floor (85871.5)     		ty = 85871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 127059 / 85871 ti = "17/127059/85871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/127059/85871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 127059 ÷ 217
    127059 ÷ 131072     		x = 0.969383239746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85871 ÷ 217
    85871 ÷ 131072     		y = 0.655143737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.969383239746094 × 2 - 1) × π
    0.938766479492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.94922188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655143737792969 × 2 - 1) × π
    -0.310287475585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.974796853773842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94922188} λ = 2.94922188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974796853773842))-π/2
    2×atan(0.377268986549906)-π/2
    2×0.360758433324718-π/2
    0.721516866649436-1.57079632675     		φ = -0.84927946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94922188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.977967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84927946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.660129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 127059 KachelY 85871 2.94922188 -0.84927946 168.977967 -48.660129
    Oben rechts KachelX + 1 127060 KachelY 85871 2.94926981 -0.84927946 168.980713 -48.660129
    Unten links KachelX 127059 KachelY + 1 85872 2.94922188 -0.84931112 168.977967 -48.661943
    Unten rechts KachelX + 1 127060 KachelY + 1 85872 2.94926981 -0.84931112 168.980713 -48.661943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84927946--0.84931112) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dl = 201.705859999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84927946--0.84931112) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dr = 201.705859999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94922188-2.94926981) × cos(-0.84927946) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.660524302096939 × 6371000     		do = 201.699041752778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94922188-2.94926981) × cos(-0.84931112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.660500531290181 × 6371000     		du = 201.691783050972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84927946)-sin(-0.84931112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660524302096939-0.660500531290181)×R²
    abs(2.94926981-2.94922188)×2.37708067586384e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37708067586384e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37708067586384e-05×40589641000000     		ar = 40683.1466199554m²