Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 127051 / 85829
↖ ↑ ↗
← S 48.583875°
E168.955994°		 ← 202.05 m → S 48.583875°
E168.958740°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
S 48.585692°
E168.955994°		 ← 202.04 m →
40 818 m²		 S 48.585692°
E168.958740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 127051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.969326019287109 y=0.654827117919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.969326019287109 × 217)
    floor (0.969326019287109 × 131072)
    floor (127051.5)     		tx = 127051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654827117919922 × 217)
    floor (0.654827117919922 × 131072)
    floor (85829.5)     		ty = 85829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 127051 / 85829 ti = "17/127051/85829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/127051/85829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 127051 ÷ 217
    127051 ÷ 131072     		x = 0.969322204589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85829 ÷ 217
    85829 ÷ 131072     		y = 0.654823303222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.969322204589844 × 2 - 1) × π
    0.938644409179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.94883838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654823303222656 × 2 - 1) × π
    -0.309646606445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.9727835039898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94883838} λ = 2.94883838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.9727835039898))-π/2
    2×atan(0.378029326140437)-π/2
    2×0.361423869179374-π/2
    0.722847738358747-1.57079632675     		φ = -0.84794859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94883838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.955994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84794859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.583875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 127051 KachelY 85829 2.94883838 -0.84794859 168.955994 -48.583875
    Oben rechts KachelX + 1 127052 KachelY 85829 2.94888632 -0.84794859 168.958740 -48.583875
    Unten links KachelX 127051 KachelY + 1 85830 2.94883838 -0.84798030 168.955994 -48.585692
    Unten rechts KachelX + 1 127052 KachelY + 1 85830 2.94888632 -0.84798030 168.958740 -48.585692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84794859--0.84798030) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dl = 202.024410000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84794859--0.84798030) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dr = 202.024410000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94883838-2.94888632) × cos(-0.84794859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661522940242499 × 6371000     		do = 202.046133550409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94883838-2.94888632) × cos(-0.84798030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661499159790408 × 6371000     		du = 202.038870388231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84794859)-sin(-0.84798030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661522940242499-0.661499159790408)×R²
    abs(2.94888632-2.94883838)×2.37804520916152e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37804520916152e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37804520916152e-05×40589641000000     		ar = 40817.5172587085m²