Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12705 / 12156
↖ ↑ ↗
← S 65.330178°
E 99.162597°		 ← 1 019.80 m → S 65.330178°
E 99.184570°		 →
↑
1 019.55 m
↓
↑
1 019.55 m
↓
S 65.339347°
E 99.162597°		 ← 1 019.44 m →
1 039 553 m²		 S 65.339347°
E 99.184570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775482177734375 y=0.741973876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775482177734375 × 214)
    floor (0.775482177734375 × 16384)
    floor (12705.5)     		tx = 12705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741973876953125 × 214)
    floor (0.741973876953125 × 16384)
    floor (12156.5)     		ty = 12156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12705 / 12156 ti = "14/12705/12156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12705/12156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12705 ÷ 214
    12705 ÷ 16384     		x = 0.77545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12156 ÷ 214
    12156 ÷ 16384     		y = 0.741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77545166015625 × 2 - 1) × π
    0.5509033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73071382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741943359375 × 2 - 1) × π
    -0.48388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52017496075122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73071382} λ = 1.73071382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52017496075122))-π/2
    2×atan(0.218673624303501)-π/2
    2×0.215284810638955-π/2
    0.430569621277911-1.57079632675     		φ = -1.14022671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73071382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.162597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14022671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.330178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12705 KachelY 12156 1.73071382 -1.14022671 99.162597 -65.330178
    Oben rechts KachelX + 1 12706 KachelY 12156 1.73109732 -1.14022671 99.184570 -65.330178
    Unten links KachelX 12705 KachelY + 1 12157 1.73071382 -1.14038674 99.162597 -65.339347
    Unten rechts KachelX + 1 12706 KachelY + 1 12157 1.73109732 -1.14038674 99.184570 -65.339347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14022671--1.14038674) × R
    0.000160029999999978 × 6371000     		dl = 1019.55112999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14022671--1.14038674) × R
    0.000160029999999978 × 6371000     		dr = 1019.55112999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73071382-1.73109732) × cos(-1.14022671) × R
    0.00038349999999987 × 0.417388496928577 × 6371000     		do = 1019.79634069256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73071382-1.73109732) × cos(-1.14038674) × R
    0.00038349999999987 × 0.417243067819479 × 6371000     		du = 1019.44101687703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14022671)-sin(-1.14038674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417388496928577-0.417243067819479)×R²
    abs(1.73109732-1.73071382)×0.000145429109098316×R²
    0.00038349999999987×0.000145429109098316×6371000²
    0.00038349999999987×0.000145429109098316×40589641000000     		ar = 1039553.37834196m²