Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12704 / 12255
↖ ↑ ↗
← S 66.222600°
E 99.140625°		 ← 985.07 m → S 66.222600°
E 99.162597°		 →
↑
984.89 m
↓
↑
984.89 m
↓
S 66.231457°
E 99.140625°		 ← 984.72 m →
970 014 m²		 S 66.231457°
E 99.162597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775421142578125 y=0.748016357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775421142578125 × 214)
    floor (0.775421142578125 × 16384)
    floor (12704.5)     		tx = 12704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748016357421875 × 214)
    floor (0.748016357421875 × 16384)
    floor (12255.5)     		ty = 12255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12704 / 12255 ti = "14/12704/12255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12704/12255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12704 ÷ 214
    12704 ÷ 16384     		x = 0.775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12255 ÷ 214
    12255 ÷ 16384     		y = 0.74798583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775390625 × 2 - 1) × π
    0.55078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73033033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.4959716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55814098525031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73033033} λ = 1.73033033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55814098525031))-π/2
    2×atan(0.210527080590072)-π/2
    2×0.207496958777308-π/2
    0.414993917554615-1.57079632675     		φ = -1.15580241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73033033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15580241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.222600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12704 KachelY 12255 1.73033033 -1.15580241 99.140625 -66.222600
    Oben rechts KachelX + 1 12705 KachelY 12255 1.73071382 -1.15580241 99.162597 -66.222600
    Unten links KachelX 12704 KachelY + 1 12256 1.73033033 -1.15595700 99.140625 -66.231457
    Unten rechts KachelX + 1 12705 KachelY + 1 12256 1.73071382 -1.15595700 99.162597 -66.231457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15580241--1.15595700) × R
    0.000154589999999954 × 6371000     		dl = 984.89288999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15580241--1.15595700) × R
    0.000154589999999954 × 6371000     		dr = 984.89288999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73033033-1.73071382) × cos(-1.15580241) × R
    0.000383490000000153 × 0.403184363537896 × 6371000     		do = 985.066000092916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73033033-1.73071382) × cos(-1.15595700) × R
    0.000383490000000153 × 0.403042890509652 × 6371000     		du = 984.720351097925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15580241)-sin(-1.15595700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403184363537896-0.403042890509652)×R²
    abs(1.73071382-1.73033033)×0.000141473028243744×R²
    0.000383490000000153×0.000141473028243744×6371000²
    0.000383490000000153×0.000141473028243744×40589641000000     		ar = 970014.28798513m²