Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12703 / 12158
↖ ↑ ↗
← S 65.348514°
E 99.118652°		 ← 1 019.09 m → S 65.348514°
E 99.140625°		 →
↑
1 018.85 m
↓
↑
1 018.85 m
↓
S 65.357677°
E 99.118652°		 ← 1 018.73 m →
1 038 115 m²		 S 65.357677°
E 99.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775360107421875 y=0.742095947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775360107421875 × 214)
    floor (0.775360107421875 × 16384)
    floor (12703.5)     		tx = 12703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742095947265625 × 214)
    floor (0.742095947265625 × 16384)
    floor (12158.5)     		ty = 12158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12703 / 12158 ti = "14/12703/12158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12703/12158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12703 ÷ 214
    12703 ÷ 16384     		x = 0.77532958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12158 ÷ 214
    12158 ÷ 16384     		y = 0.7420654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77532958984375 × 2 - 1) × π
    0.5506591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72994683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7420654296875 × 2 - 1) × π
    -0.484130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52094195114514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72994683} λ = 1.72994683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52094195114514))-π/2
    2×atan(0.218505968037848)-π/2
    2×0.215124799925359-π/2
    0.430249599850718-1.57079632675     		φ = -1.14054673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72994683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.118652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14054673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.348514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12703 KachelY 12158 1.72994683 -1.14054673 99.118652 -65.348514
    Oben rechts KachelX + 1 12704 KachelY 12158 1.73033033 -1.14054673 99.140625 -65.348514
    Unten links KachelX 12703 KachelY + 1 12159 1.72994683 -1.14070665 99.118652 -65.357677
    Unten rechts KachelX + 1 12704 KachelY + 1 12159 1.73033033 -1.14070665 99.140625 -65.357677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14054673--1.14070665) × R
    0.00015991999999998 × 6371000     		dl = 1018.85031999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14054673--1.14070665) × R
    0.00015991999999998 × 6371000     		dr = 1018.85031999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72994683-1.73033033) × cos(-1.14054673) × R
    0.00038349999999987 × 0.417097664379419 × 6371000     		do = 1019.08575577811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72994683-1.73033033) × cos(-1.14070665) × R
    0.00038349999999987 × 0.416952313887981 × 6371000     		du = 1018.73062404741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14054673)-sin(-1.14070665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417097664379419-0.416952313887981)×R²
    abs(1.73033033-1.72994683)×0.000145350491438712×R²
    0.00038349999999987×0.000145350491438712×6371000²
    0.00038349999999987×0.000145350491438712×40589641000000     		ar = 1038114.9375542m²