Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12702 / 12046
↖ ↑ ↗
← S 64.301822°
E 99.096680°		 ← 1 059.45 m → S 64.301822°
E 99.118652°		 →
↑
1 059.31 m
↓
↑
1 059.31 m
↓
S 64.311349°
E 99.096680°		 ← 1 059.09 m →
1 122 090 m²		 S 64.311349°
E 99.118652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775299072265625 y=0.735260009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775299072265625 × 214)
    floor (0.775299072265625 × 16384)
    floor (12702.5)     		tx = 12702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735260009765625 × 214)
    floor (0.735260009765625 × 16384)
    floor (12046.5)     		ty = 12046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12702 / 12046 ti = "14/12702/12046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12702/12046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12702 ÷ 214
    12702 ÷ 16384     		x = 0.7752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12046 ÷ 214
    12046 ÷ 16384     		y = 0.7352294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7752685546875 × 2 - 1) × π
    0.550537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72956334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7352294921875 × 2 - 1) × π
    -0.470458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47799048908557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72956334} λ = 1.72956334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47799048908557))-π/2
    2×atan(0.228095588726935)-π/2
    2×0.224258907726679-π/2
    0.448517815453358-1.57079632675     		φ = -1.12227851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72956334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.096680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12227851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.301822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12702 KachelY 12046 1.72956334 -1.12227851 99.096680 -64.301822
    Oben rechts KachelX + 1 12703 KachelY 12046 1.72994683 -1.12227851 99.118652 -64.301822
    Unten links KachelX 12702 KachelY + 1 12047 1.72956334 -1.12244478 99.096680 -64.311349
    Unten rechts KachelX + 1 12703 KachelY + 1 12047 1.72994683 -1.12244478 99.118652 -64.311349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12227851--1.12244478) × R
    0.000166270000000024 × 6371000     		dl = 1059.30617000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12227851--1.12244478) × R
    0.000166270000000024 × 6371000     		dr = 1059.30617000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72956334-1.72994683) × cos(-1.12227851) × R
    0.000383490000000153 × 0.433630429247067 × 6371000     		do = 1059.45227813091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72956334-1.72994683) × cos(-1.12244478) × R
    0.000383490000000153 × 0.433480598884494 × 6371000     		du = 1059.08621037308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12227851)-sin(-1.12244478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433630429247067-0.433480598884494)×R²
    abs(1.72994683-1.72956334)×0.000149830362573045×R²
    0.000383490000000153×0.000149830362573045×6371000²
    0.000383490000000153×0.000149830362573045×40589641000000     		ar = 1122090.44871251m²