Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12701 / 12042
↖ ↑ ↗
← S 64.263684°
E 99.074707°		 ← 1 060.95 m → S 64.263684°
E 99.096680°		 →
↑
1 060.77 m
↓
↑
1 060.77 m
↓
S 64.273223°
E 99.074707°		 ← 1 060.58 m →
1 125 226 m²		 S 64.273223°
E 99.096680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775238037109375 y=0.735015869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775238037109375 × 214)
    floor (0.775238037109375 × 16384)
    floor (12701.5)     		tx = 12701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735015869140625 × 214)
    floor (0.735015869140625 × 16384)
    floor (12042.5)     		ty = 12042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12701 / 12042 ti = "14/12701/12042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12701/12042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12701 ÷ 214
    12701 ÷ 16384     		x = 0.77520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12042 ÷ 214
    12042 ÷ 16384     		y = 0.7349853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77520751953125 × 2 - 1) × π
    0.5504150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72917984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7349853515625 × 2 - 1) × π
    -0.469970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47645650829773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72917984} λ = 1.72917984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47645650829773))-π/2
    2×atan(0.228445751480638)-π/2
    2×0.224591728043391-π/2
    0.449183456086783-1.57079632675     		φ = -1.12161287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72917984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.074707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12161287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.263684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12701 KachelY 12042 1.72917984 -1.12161287 99.074707 -64.263684
    Oben rechts KachelX + 1 12702 KachelY 12042 1.72956334 -1.12161287 99.096680 -64.263684
    Unten links KachelX 12701 KachelY + 1 12043 1.72917984 -1.12177937 99.074707 -64.273223
    Unten rechts KachelX + 1 12702 KachelY + 1 12043 1.72956334 -1.12177937 99.096680 -64.273223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12161287--1.12177937) × R
    0.000166499999999958 × 6371000     		dl = 1060.77149999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12161287--1.12177937) × R
    0.000166499999999958 × 6371000     		dr = 1060.77149999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72917984-1.72956334) × cos(-1.12161287) × R
    0.00038349999999987 × 0.434230135224891 × 6371000     		do = 1060.94515344671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72917984-1.72956334) × cos(-1.12177937) × R
    0.00038349999999987 × 0.434080145678614 × 6371000     		du = 1060.57868721307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12161287)-sin(-1.12177937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434230135224891-0.434080145678614)×R²
    abs(1.72956334-1.72917984)×0.000149989546276985×R²
    0.00038349999999987×0.000149989546276985×6371000²
    0.00038349999999987×0.000149989546276985×40589641000000     		ar = 1125226.01597056m²