Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 127006 / 85974
↖ ↑ ↗
← S 48.846644°
E168.832397°		 ← 200.99 m → S 48.846644°
E168.835144°		 →
↑
200.94 m
↓
↑
200.94 m
↓
S 48.848451°
E168.832397°		 ← 200.99 m →
40 387 m²		 S 48.848451°
E168.835144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 127006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968982696533203 y=0.655933380126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968982696533203 × 217)
    floor (0.968982696533203 × 131072)
    floor (127006.5)     		tx = 127006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655933380126953 × 217)
    floor (0.655933380126953 × 131072)
    floor (85974.5)     		ty = 85974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 127006 / 85974 ti = "17/127006/85974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/127006/85974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 127006 ÷ 217
    127006 ÷ 131072     		x = 0.968978881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85974 ÷ 217
    85974 ÷ 131072     		y = 0.655929565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968978881835938 × 2 - 1) × π
    0.937957763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.94668122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655929565429688 × 2 - 1) × π
    -0.311859130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.979734354434708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94668122} λ = 2.94668122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.979734354434708))-π/2
    2×atan(0.375410811823983)-π/2
    2×0.35913078540823-π/2
    0.718261570816459-1.57079632675     		φ = -0.85253476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94668122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.832397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85253476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.846644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 127006 KachelY 85974 2.94668122 -0.85253476 168.832397 -48.846644
    Oben rechts KachelX + 1 127007 KachelY 85974 2.94672916 -0.85253476 168.835144 -48.846644
    Unten links KachelX 127006 KachelY + 1 85975 2.94668122 -0.85256630 168.832397 -48.848451
    Unten rechts KachelX + 1 127007 KachelY + 1 85975 2.94672916 -0.85256630 168.835144 -48.848451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85253476--0.85256630) × R
    3.15400000000521e-05 × 6371000     		dl = 200.941340000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85253476--0.85256630) × R
    3.15400000000521e-05 × 6371000     		dr = 200.941340000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94668122-2.94672916) × cos(-0.85253476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658076712207009 × 6371000     		do = 200.993566802461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94668122-2.94672916) × cos(-0.85256630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658052963808665 × 6371000     		du = 200.986313430323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85253476)-sin(-0.85256630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658076712207009-0.658052963808665)×R²
    abs(2.94672916-2.94668122)×2.37483983448472e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37483983448472e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37483983448472e-05×40589641000000     		ar = 40387.1878970256m²