Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 127002 / 86090
↖ ↑ ↗
← S 49.055870°
E168.821411°		 ← 200.15 m → S 49.055870°
E168.824158°		 →
↑
200.18 m
↓
↑
200.18 m
↓
S 49.057670°
E168.821411°		 ← 200.15 m →
40 065 m²		 S 49.057670°
E168.824158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 127002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968952178955078 y=0.656818389892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968952178955078 × 217)
    floor (0.968952178955078 × 131072)
    floor (127002.5)     		tx = 127002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656818389892578 × 217)
    floor (0.656818389892578 × 131072)
    floor (86090.5)     		ty = 86090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 127002 / 86090 ti = "17/127002/86090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/127002/86090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 127002 ÷ 217
    127002 ÷ 131072     		x = 0.968948364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86090 ÷ 217
    86090 ÷ 131072     		y = 0.656814575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968948364257812 × 2 - 1) × π
    0.937896728515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.94648947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656814575195312 × 2 - 1) × π
    -0.313629150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.985295034790634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94648947} λ = 2.94648947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985295034790634))-π/2
    2×atan(0.373329065624036)-π/2
    2×0.357304937353807-π/2
    0.714609874707613-1.57079632675     		φ = -0.85618645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94648947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.821411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85618645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.055870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 127002 KachelY 86090 2.94648947 -0.85618645 168.821411 -49.055870
    Oben rechts KachelX + 1 127003 KachelY 86090 2.94653741 -0.85618645 168.824158 -49.055870
    Unten links KachelX 127002 KachelY + 1 86091 2.94648947 -0.85621787 168.821411 -49.057670
    Unten rechts KachelX + 1 127003 KachelY + 1 86091 2.94653741 -0.85621787 168.824158 -49.057670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85618645--0.85621787) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dl = 200.176820000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85618645--0.85621787) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dr = 200.176820000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94648947-2.94653741) × cos(-0.85618645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655322787417988 × 6371000     		do = 200.15244728587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94648947-2.94653741) × cos(-0.85621787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655299054030343 × 6371000     		du = 200.145198498386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85618645)-sin(-0.85621787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655322787417988-0.655299054030343)×R²
    abs(2.94653741-2.94648947)×2.37333876447199e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37333876447199e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37333876447199e-05×40589641000000     		ar = 40065.154896676m²