Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 127002 / 85976
↖ ↑ ↗
← S 48.850258°
E168.821411°		 ← 200.98 m → S 48.850258°
E168.824158°		 →
↑
200.94 m
↓
↑
200.94 m
↓
S 48.852066°
E168.821411°		 ← 200.97 m →
40 384 m²		 S 48.852066°
E168.824158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 127002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968952178955078 y=0.655948638916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968952178955078 × 217)
    floor (0.968952178955078 × 131072)
    floor (127002.5)     		tx = 127002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655948638916016 × 217)
    floor (0.655948638916016 × 131072)
    floor (85976.5)     		ty = 85976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 127002 / 85976 ti = "17/127002/85976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/127002/85976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 127002 ÷ 217
    127002 ÷ 131072     		x = 0.968948364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85976 ÷ 217
    85976 ÷ 131072     		y = 0.65594482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968948364257812 × 2 - 1) × π
    0.937896728515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.94648947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65594482421875 × 2 - 1) × π
    -0.3118896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.979830228233948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94648947} λ = 2.94648947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.979830228233948))-π/2
    2×atan(0.37537482148847)-π/2
    2×0.359099240389414-π/2
    0.718198480778827-1.57079632675     		φ = -0.85259785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94648947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.821411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85259785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.850258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 127002 KachelY 85976 2.94648947 -0.85259785 168.821411 -48.850258
    Oben rechts KachelX + 1 127003 KachelY 85976 2.94653741 -0.85259785 168.824158 -48.850258
    Unten links KachelX 127002 KachelY + 1 85977 2.94648947 -0.85262939 168.821411 -48.852066
    Unten rechts KachelX + 1 127003 KachelY + 1 85977 2.94653741 -0.85262939 168.824158 -48.852066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85259785--0.85262939) × R
    3.15400000000521e-05 × 6371000     		dl = 200.941340000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85259785--0.85262939) × R
    3.15400000000521e-05 × 6371000     		dr = 200.941340000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94648947-2.94653741) × cos(-0.85259785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658029207225783 × 6371000     		do = 200.979057558416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94648947-2.94653741) × cos(-0.85262939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65800545751803 × 6371000     		du = 200.971803786351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85259785)-sin(-0.85262939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658029207225783-0.65800545751803)×R²
    abs(2.94653741-2.94648947)×2.37497077535398e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37497077535398e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37497077535398e-05×40589641000000     		ar = 40384.2723498301m²