Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 127000 / 86025
↖ ↑ ↗
← S 48.938739°
E168.815918°		 ← 200.62 m → S 48.938739°
E168.818665°		 →
↑
200.62 m
↓
↑
200.62 m
↓
S 48.940543°
E168.815918°		 ← 200.62 m →
40 249 m²		 S 48.940543°
E168.818665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 127000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968936920166016 y=0.656322479248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968936920166016 × 217)
    floor (0.968936920166016 × 131072)
    floor (127000.5)     		tx = 127000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656322479248047 × 217)
    floor (0.656322479248047 × 131072)
    floor (86025.5)     		ty = 86025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 127000 / 86025 ti = "17/127000/86025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/127000/86025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 127000 ÷ 217
    127000 ÷ 131072     		x = 0.96893310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86025 ÷ 217
    86025 ÷ 131072     		y = 0.656318664550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.96893310546875 × 2 - 1) × π
    0.9378662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.94639360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656318664550781 × 2 - 1) × π
    -0.312637329101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.98217913631533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94639360} λ = 2.94639360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98217913631533))-π/2
    2×atan(0.374494135267142)-π/2
    2×0.358327098680532-π/2
    0.716654197361063-1.57079632675     		φ = -0.85414213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94639360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.815918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85414213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.938739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 127000 KachelY 86025 2.94639360 -0.85414213 168.815918 -48.938739
    Oben rechts KachelX + 1 127001 KachelY 86025 2.94644154 -0.85414213 168.818665 -48.938739
    Unten links KachelX 127000 KachelY + 1 86026 2.94639360 -0.85417362 168.815918 -48.940543
    Unten rechts KachelX + 1 127001 KachelY + 1 86026 2.94644154 -0.85417362 168.818665 -48.940543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85414213--0.85417362) × R
    3.14899999999119e-05 × 6371000     		dl = 200.622789999439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85414213--0.85417362) × R
    3.14899999999119e-05 × 6371000     		dr = 200.622789999439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94639360-2.94644154) × cos(-0.85414213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656865591942208 × 6371000     		do = 200.623659499355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94639360-2.94644154) × cos(-0.85417362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656841847914424 × 6371000     		du = 200.616407462099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85414213)-sin(-0.85417362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656865591942208-0.656841847914424)×R²
    abs(2.94644154-2.94639360)×2.37440277833789e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37440277833789e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37440277833789e-05×40589641000000     		ar = 40248.9508500552m²