Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 126994 / 85995
↖ ↑ ↗
← S 48.884585°
E168.799439°		 ← 200.80 m → S 48.884585°
E168.802185°		 →
↑
200.88 m
↓
↑
200.88 m
↓
S 48.886392°
E168.799439°		 ← 200.79 m →
40 335 m²		 S 48.886392°
E168.802185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968891143798828 y=0.656093597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968891143798828 × 217)
    floor (0.968891143798828 × 131072)
    floor (126994.5)     		tx = 126994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656093597412109 × 217)
    floor (0.656093597412109 × 131072)
    floor (85995.5)     		ty = 85995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126994 / 85995 ti = "17/126994/85995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126994/85995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126994 ÷ 217
    126994 ÷ 131072     		x = 0.968887329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85995 ÷ 217
    85995 ÷ 131072     		y = 0.656089782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968887329101562 × 2 - 1) × π
    0.937774658203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.94610598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656089782714844 × 2 - 1) × π
    -0.312179565429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.980741029326729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94610598} λ = 2.94610598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980741029326729))-π/2
    2×atan(0.375033085341308)-π/2
    2×0.358799676281681-π/2
    0.717599352563362-1.57079632675     		φ = -0.85319697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94610598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.799439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85319697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.884585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126994 KachelY 85995 2.94610598 -0.85319697 168.799439 -48.884585
    Oben rechts KachelX + 1 126995 KachelY 85995 2.94615391 -0.85319697 168.802185 -48.884585
    Unten links KachelX 126994 KachelY + 1 85996 2.94610598 -0.85322850 168.799439 -48.886392
    Unten rechts KachelX + 1 126995 KachelY + 1 85996 2.94615391 -0.85322850 168.802185 -48.886392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85319697--0.85322850) × R
    3.15299999998908e-05 × 6371000     		dl = 200.877629999304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85319697--0.85322850) × R
    3.15299999998908e-05 × 6371000     		dr = 200.877629999304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94610598-2.94615391) × cos(-0.85319697) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65757795634484 × 6371000     		do = 200.799339632835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94610598-2.94615391) × cos(-0.85322850) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.657554201741365 × 6371000     		du = 200.792085878896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85319697)-sin(-0.85322850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65757795634484-0.657554201741365)×R²
    abs(2.94615391-2.94610598)×2.37546034744796e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37546034744796e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37546034744796e-05×40589641000000     		ar = 40335.3668958933m²