Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 126984 / 86026
↖ ↑ ↗
← S 48.940543°
E168.771973°		 ← 200.57 m → S 48.940543°
E168.774719°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
S 48.942347°
E168.771973°		 ← 200.57 m →
40 226 m²		 S 48.942347°
E168.774719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968814849853516 y=0.656330108642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968814849853516 × 217)
    floor (0.968814849853516 × 131072)
    floor (126984.5)     		tx = 126984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656330108642578 × 217)
    floor (0.656330108642578 × 131072)
    floor (86026.5)     		ty = 86026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126984 / 86026 ti = "17/126984/86026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126984/86026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126984 ÷ 217
    126984 ÷ 131072     		x = 0.96881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86026 ÷ 217
    86026 ÷ 131072     		y = 0.656326293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.96881103515625 × 2 - 1) × π
    0.9376220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.94562661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656326293945312 × 2 - 1) × π
    -0.312652587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.982227073214951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94562661} λ = 2.94562661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982227073214951))-π/2
    2×atan(0.374476183609648)-π/2
    2×0.358311354915081-π/2
    0.716622709830162-1.57079632675     		φ = -0.85417362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94562661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.771973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85417362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.940543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126984 KachelY 86026 2.94562661 -0.85417362 168.771973 -48.940543
    Oben rechts KachelX + 1 126985 KachelY 86026 2.94567454 -0.85417362 168.774719 -48.940543
    Unten links KachelX 126984 KachelY + 1 86027 2.94562661 -0.85420510 168.771973 -48.942347
    Unten rechts KachelX + 1 126985 KachelY + 1 86027 2.94567454 -0.85420510 168.774719 -48.942347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85417362--0.85420510) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dl = 200.559080000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85417362--0.85420510) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dr = 200.559080000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94562661-2.94567454) × cos(-0.85417362) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656841847914424 × 6371000     		do = 200.574560068223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94562661-2.94567454) × cos(-0.85420510) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656818110775794 × 6371000     		du = 200.567311647384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85417362)-sin(-0.85420510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656841847914424-0.656818110775794)×R²
    abs(2.94567454-2.94562661)×2.37371386304641e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37371386304641e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37371386304641e-05×40589641000000     		ar = 40226.3223738081m²