Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 126982 / 86010
↖ ↑ ↗
← S 48.911670°
E168.766479°		 ← 200.73 m → S 48.911670°
E168.769226°		 →
↑
200.69 m
↓
↑
200.69 m
↓
S 48.913475°
E168.766479°		 ← 200.73 m →
40 284 m²		 S 48.913475°
E168.769226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968799591064453 y=0.656208038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968799591064453 × 217)
    floor (0.968799591064453 × 131072)
    floor (126982.5)     		tx = 126982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656208038330078 × 217)
    floor (0.656208038330078 × 131072)
    floor (86010.5)     		ty = 86010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126982 / 86010 ti = "17/126982/86010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126982/86010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126982 ÷ 217
    126982 ÷ 131072     		x = 0.968795776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86010 ÷ 217
    86010 ÷ 131072     		y = 0.656204223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968795776367188 × 2 - 1) × π
    0.937591552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.94553073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656204223632812 × 2 - 1) × π
    -0.312408447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.98146008282103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94553073} λ = 2.94553073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98146008282103))-π/2
    2×atan(0.374763513420745)-π/2
    2×0.358563323452913-π/2
    0.717126646905826-1.57079632675     		φ = -0.85366968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94553073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.766479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85366968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.911670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126982 KachelY 86010 2.94553073 -0.85366968 168.766479 -48.911670
    Oben rechts KachelX + 1 126983 KachelY 86010 2.94557867 -0.85366968 168.769226 -48.911670
    Unten links KachelX 126982 KachelY + 1 86011 2.94553073 -0.85370118 168.766479 -48.913475
    Unten rechts KachelX + 1 126983 KachelY + 1 86011 2.94557867 -0.85370118 168.769226 -48.913475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85366968--0.85370118) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dl = 200.686499999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85366968--0.85370118) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dr = 200.686499999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94553073-2.94557867) × cos(-0.85366968) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657221749552171 × 6371000     		do = 200.732439200935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94553073-2.94557867) × cos(-0.85370118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657198007762166 × 6371000     		du = 200.725187847154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85366968)-sin(-0.85370118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657221749552171-0.657198007762166)×R²
    abs(2.94557867-2.94553073)×2.37417900048609e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37417900048609e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37417900048609e-05×40589641000000     		ar = 40283.5630384576m²