Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12698 / 12152
↖ ↑ ↗
← S 65.293468°
E 99.008789°		 ← 1 021.19 m → S 65.293468°
E 99.030762°		 →
↑
1 021.02 m
↓
↑
1 021.02 m
↓
S 65.302650°
E 99.008789°		 ← 1 020.84 m →
1 042 472 m²		 S 65.302650°
E 99.030762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775054931640625 y=0.741729736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775054931640625 × 214)
    floor (0.775054931640625 × 16384)
    floor (12698.5)     		tx = 12698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741729736328125 × 214)
    floor (0.741729736328125 × 16384)
    floor (12152.5)     		ty = 12152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12698 / 12152 ti = "14/12698/12152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12698/12152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12698 ÷ 214
    12698 ÷ 16384     		x = 0.7750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12152 ÷ 214
    12152 ÷ 16384     		y = 0.74169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7750244140625 × 2 - 1) × π
    0.550048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72802936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74169921875 × 2 - 1) × π
    -0.4833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51864097996338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72802936} λ = 1.72802936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51864097996338))-π/2
    2×atan(0.219009322853726)-π/2
    2×0.215605166819682-π/2
    0.431210333639364-1.57079632675     		φ = -1.13958599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72802936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13958599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.293468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12698 KachelY 12152 1.72802936 -1.13958599 99.008789 -65.293468
    Oben rechts KachelX + 1 12699 KachelY 12152 1.72841285 -1.13958599 99.030762 -65.293468
    Unten links KachelX 12698 KachelY + 1 12153 1.72802936 -1.13974625 99.008789 -65.302650
    Unten rechts KachelX + 1 12699 KachelY + 1 12153 1.72841285 -1.13974625 99.030762 -65.302650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13958599--1.13974625) × R
    0.000160259999999912 × 6371000     		dl = 1021.01645999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13958599--1.13974625) × R
    0.000160259999999912 × 6371000     		dr = 1021.01645999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72802936-1.72841285) × cos(-1.13958599) × R
    0.000383489999999931 × 0.417970651512596 × 6371000     		do = 1021.19207756133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72802936-1.72841285) × cos(-1.13974625) × R
    0.000383489999999931 × 0.417825056261264 × 6371000     		du = 1020.83635708992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13958599)-sin(-1.13974625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417970651512596-0.417825056261264)×R²
    abs(1.72841285-1.72802936)×0.000145595251332287×R²
    0.000383489999999931×0.000145595251332287×6371000²
    0.000383489999999931×0.000145595251332287×40589641000000     		ar = 1042472.32401448m²