Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12698 / 12039
↖ ↑ ↗
← S 64.235046°
E 99.008789°		 ← 1 062.02 m → S 64.235046°
E 99.030762°		 →
↑
1 061.85 m
↓
↑
1 061.85 m
↓
S 64.244595°
E 99.008789°		 ← 1 061.65 m →
1 127 513 m²		 S 64.244595°
E 99.030762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775054931640625 y=0.734832763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775054931640625 × 214)
    floor (0.775054931640625 × 16384)
    floor (12698.5)     		tx = 12698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734832763671875 × 214)
    floor (0.734832763671875 × 16384)
    floor (12039.5)     		ty = 12039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12698 / 12039 ti = "14/12698/12039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12698/12039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12698 ÷ 214
    12698 ÷ 16384     		x = 0.7750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12039 ÷ 214
    12039 ÷ 16384     		y = 0.73480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7750244140625 × 2 - 1) × π
    0.550048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72802936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73480224609375 × 2 - 1) × π
    -0.4696044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47530602270685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72802936} λ = 1.72802936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47530602270685))-π/2
    2×atan(0.228708726271362)-π/2
    2×0.224841645269178-π/2
    0.449683290538356-1.57079632675     		φ = -1.12111304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72802936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12111304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.235046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12698 KachelY 12039 1.72802936 -1.12111304 99.008789 -64.235046
    Oben rechts KachelX + 1 12699 KachelY 12039 1.72841285 -1.12111304 99.030762 -64.235046
    Unten links KachelX 12698 KachelY + 1 12040 1.72802936 -1.12127971 99.008789 -64.244595
    Unten rechts KachelX + 1 12699 KachelY + 1 12040 1.72841285 -1.12127971 99.030762 -64.244595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12111304--1.12127971) × R
    0.000166670000000035 × 6371000     		dl = 1061.85457000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12111304--1.12127971) × R
    0.000166670000000035 × 6371000     		dr = 1061.85457000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72802936-1.72841285) × cos(-1.12111304) × R
    0.000383489999999931 × 0.434680328813087 × 6371000     		do = 1062.017408278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72802936-1.72841285) × cos(-1.12127971) × R
    0.000383489999999931 × 0.434530222304944 × 6371000     		du = 1061.65066583724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12111304)-sin(-1.12127971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434680328813087-0.434530222304944)×R²
    abs(1.72841285-1.72802936)×0.0001501065081424×R²
    0.000383489999999931×0.0001501065081424×6371000²
    0.000383489999999931×0.0001501065081424×40589641000000     		ar = 1127513.327443m²