Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 126977 / 86021
↖ ↑ ↗
← S 48.931522°
E168.752747°		 ← 200.65 m → S 48.931522°
E168.755493°		 →
↑
200.62 m
↓
↑
200.62 m
↓
S 48.933326°
E168.752747°		 ← 200.65 m →
40 255 m²		 S 48.933326°
E168.755493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968761444091797 y=0.656291961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968761444091797 × 217)
    floor (0.968761444091797 × 131072)
    floor (126977.5)     		tx = 126977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656291961669922 × 217)
    floor (0.656291961669922 × 131072)
    floor (86021.5)     		ty = 86021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126977 / 86021 ti = "17/126977/86021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126977/86021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126977 ÷ 217
    126977 ÷ 131072     		x = 0.968757629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86021 ÷ 217
    86021 ÷ 131072     		y = 0.656288146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968757629394531 × 2 - 1) × π
    0.937515258789062 × 3.1415926535     		Λ = 2.94529105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656288146972656 × 2 - 1) × π
    -0.312576293945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.98198738871685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94529105} λ = 2.94529105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98198738871685))-π/2
    2×atan(0.374565950503204)-π/2
    2×0.358390079433038-π/2
    0.716780158866076-1.57079632675     		φ = -0.85401617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94529105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.752747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85401617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.931522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126977 KachelY 86021 2.94529105 -0.85401617 168.752747 -48.931522
    Oben rechts KachelX + 1 126978 KachelY 86021 2.94533899 -0.85401617 168.755493 -48.931522
    Unten links KachelX 126977 KachelY + 1 86022 2.94529105 -0.85404766 168.752747 -48.933326
    Unten rechts KachelX + 1 126978 KachelY + 1 86022 2.94533899 -0.85404766 168.755493 -48.933326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85401617--0.85404766) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dl = 200.622790000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85401617--0.85404766) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dr = 200.622790000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94529105-2.94533899) × cos(-0.85401617) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.656960561539495 × 6371000     		do = 200.652665660743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94529105-2.94533899) × cos(-0.85404766) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.656936820117297 × 6371000     		du = 200.645414419299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85401617)-sin(-0.85404766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656960561539495-0.656936820117297)×R²
    abs(2.94533899-2.94529105)×2.37414221976318e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.37414221976318e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.37414221976318e-05×40589641000000     		ar = 40254.7702270981m²