Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12694 / 12153
↖ ↑ ↗
← S 65.302650°
E 98.920899°		 ← 1 020.84 m → S 65.302650°
E 98.942871°		 →
↑
1 020.70 m
↓
↑
1 020.70 m
↓
S 65.311829°
E 98.920899°		 ← 1 020.48 m →
1 041 784 m²		 S 65.311829°
E 98.942871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774810791015625 y=0.741790771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774810791015625 × 214)
    floor (0.774810791015625 × 16384)
    floor (12694.5)     		tx = 12694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741790771484375 × 214)
    floor (0.741790771484375 × 16384)
    floor (12153.5)     		ty = 12153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12694 / 12153 ti = "14/12694/12153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12694/12153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12694 ÷ 214
    12694 ÷ 16384     		x = 0.7747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12153 ÷ 214
    12153 ÷ 16384     		y = 0.74176025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7747802734375 × 2 - 1) × π
    0.549560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72649538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74176025390625 × 2 - 1) × π
    -0.4835205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51902447516034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72649538} λ = 1.72649538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51902447516034))-π/2
    2×atan(0.218925349932957)-π/2
    2×0.215525035911136-π/2
    0.431050071822272-1.57079632675     		φ = -1.13974625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72649538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.920899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13974625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.302650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12694 KachelY 12153 1.72649538 -1.13974625 98.920899 -65.302650
    Oben rechts KachelX + 1 12695 KachelY 12153 1.72687887 -1.13974625 98.942871 -65.302650
    Unten links KachelX 12694 KachelY + 1 12154 1.72649538 -1.13990646 98.920899 -65.311829
    Unten rechts KachelX + 1 12695 KachelY + 1 12154 1.72687887 -1.13990646 98.942871 -65.311829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13974625--1.13990646) × R
    0.000160209999999994 × 6371000     		dl = 1020.69790999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13974625--1.13990646) × R
    0.000160209999999994 × 6371000     		dr = 1020.69790999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72649538-1.72687887) × cos(-1.13974625) × R
    0.000383489999999931 × 0.417825056261264 × 6371000     		do = 1020.83635708992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72649538-1.72687887) × cos(-1.13990646) × R
    0.000383489999999931 × 0.417679495708541 × 6371000     		du = 1020.48072139466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13974625)-sin(-1.13990646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417825056261264-0.417679495708541)×R²
    abs(1.72687887-1.72649538)×0.000145560552723023×R²
    0.000383489999999931×0.000145560552723023×6371000²
    0.000383489999999931×0.000145560552723023×40589641000000     		ar = 1041784.04005673m²