Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12692 / 12058
↖ ↑ ↗
← S 64.415921°
E 98.876953°		 ← 1 055.07 m → S 64.415921°
E 98.898926°		 →
↑
1 054.91 m
↓
↑
1 054.91 m
↓
S 64.425408°
E 98.876953°		 ← 1 054.70 m →
1 112 807 m²		 S 64.425408°
E 98.898926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774688720703125 y=0.735992431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774688720703125 × 214)
    floor (0.774688720703125 × 16384)
    floor (12692.5)     		tx = 12692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735992431640625 × 214)
    floor (0.735992431640625 × 16384)
    floor (12058.5)     		ty = 12058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12692 / 12058 ti = "14/12692/12058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12692/12058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12692 ÷ 214
    12692 ÷ 16384     		x = 0.774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12058 ÷ 214
    12058 ÷ 16384     		y = 0.7359619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774658203125 × 2 - 1) × π
    0.54931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72572839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7359619140625 × 2 - 1) × π
    -0.471923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4825924314491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72572839} λ = 1.72572839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4825924314491))-π/2
    2×atan(0.227048317563254)-π/2
    2×0.223263203173089-π/2
    0.446526406346179-1.57079632675     		φ = -1.12426992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72572839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.876953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12426992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.415921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12692 KachelY 12058 1.72572839 -1.12426992 98.876953 -64.415921
    Oben rechts KachelX + 1 12693 KachelY 12058 1.72611188 -1.12426992 98.898926 -64.415921
    Unten links KachelX 12692 KachelY + 1 12059 1.72572839 -1.12443550 98.876953 -64.425408
    Unten rechts KachelX + 1 12693 KachelY + 1 12059 1.72611188 -1.12443550 98.898926 -64.425408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12426992--1.12443550) × R
    0.000165579999999999 × 6371000     		dl = 1054.91017999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12426992--1.12443550) × R
    0.000165579999999999 × 6371000     		dr = 1054.91017999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72572839-1.72611188) × cos(-1.12426992) × R
    0.000383489999999931 × 0.431835129353087 × 6371000     		do = 1055.06597487684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72572839-1.72611188) × cos(-1.12443550) × R
    0.000383489999999931 × 0.431685778129078 × 6371000     		du = 1054.70107775743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12426992)-sin(-1.12443550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431835129353087-0.431685778129078)×R²
    abs(1.72611188-1.72572839)×0.000149351224009275×R²
    0.000383489999999931×0.000149351224009275×6371000²
    0.000383489999999931×0.000149351224009275×40589641000000     		ar = 1112807.3731692m²