Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 126907 / 85563
↖ ↑ ↗
← S 48.098260°
E168.560486°		 ← 203.94 m → S 48.098260°
E168.563232°		 →
↑
203.94 m
↓
↑
203.94 m
↓
S 48.100095°
E168.560486°		 ← 203.93 m →
41 589 m²		 S 48.100095°
E168.563232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968227386474609 y=0.652797698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968227386474609 × 217)
    floor (0.968227386474609 × 131072)
    floor (126907.5)     		tx = 126907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652797698974609 × 217)
    floor (0.652797698974609 × 131072)
    floor (85563.5)     		ty = 85563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126907 / 85563 ti = "17/126907/85563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126907/85563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126907 ÷ 217
    126907 ÷ 131072     		x = 0.968223571777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85563 ÷ 217
    85563 ÷ 131072     		y = 0.652793884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968223571777344 × 2 - 1) × π
    0.936447143554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.94193547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652793884277344 × 2 - 1) × π
    -0.305587768554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.960032288690865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94193547} λ = 2.94193547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960032288690865))-π/2
    2×atan(0.382880523064675)-π/2
    2×0.365661659073422-π/2
    0.731323318146844-1.57079632675     		φ = -0.83947301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94193547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.560486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83947301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.098260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126907 KachelY 85563 2.94193547 -0.83947301 168.560486 -48.098260
    Oben rechts KachelX + 1 126908 KachelY 85563 2.94198340 -0.83947301 168.563232 -48.098260
    Unten links KachelX 126907 KachelY + 1 85564 2.94193547 -0.83950502 168.560486 -48.100095
    Unten rechts KachelX + 1 126908 KachelY + 1 85564 2.94198340 -0.83950502 168.563232 -48.100095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83947301--0.83950502) × R
    3.20100000000823e-05 × 6371000     		dl = 203.935710000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83947301--0.83950502) × R
    3.20100000000823e-05 × 6371000     		dr = 203.935710000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94193547-2.94198340) × cos(-0.83947301) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.667855152617566 × 6371000     		do = 203.937605147495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94193547-2.94198340) × cos(-0.83950502) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.66783132751185 × 6371000     		du = 203.930329864849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83947301)-sin(-0.83950502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667855152617566-0.66783132751185)×R²
    abs(2.94198340-2.94193547)×2.38251057156358e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.38251057156358e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.38251057156358e-05×40589641000000     		ar = 41589.4184600367m²