Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 126903 / 85545
↖ ↑ ↗
← S 48.065232°
E168.549500°		 ← 204.11 m → S 48.065232°
E168.552246°		 →
↑
204.06 m
↓
↑
204.06 m
↓
S 48.067068°
E168.549500°		 ← 204.10 m →
41 651 m²		 S 48.067068°
E168.552246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968196868896484 y=0.652660369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968196868896484 × 217)
    floor (0.968196868896484 × 131072)
    floor (126903.5)     		tx = 126903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652660369873047 × 217)
    floor (0.652660369873047 × 131072)
    floor (85545.5)     		ty = 85545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126903 / 85545 ti = "17/126903/85545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126903/85545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126903 ÷ 217
    126903 ÷ 131072     		x = 0.968193054199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85545 ÷ 217
    85545 ÷ 131072     		y = 0.652656555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968193054199219 × 2 - 1) × π
    0.936386108398438 × 3.1415926535     		Λ = 2.94174372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652656555175781 × 2 - 1) × π
    -0.305313110351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.959169424497704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94174372} λ = 2.94174372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959169424497704))-π/2
    2×atan(0.383211039533192)-π/2
    2×0.365949885749497-π/2
    0.731899771498995-1.57079632675     		φ = -0.83889656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94174372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.549500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83889656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.065232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126903 KachelY 85545 2.94174372 -0.83889656 168.549500 -48.065232
    Oben rechts KachelX + 1 126904 KachelY 85545 2.94179166 -0.83889656 168.552246 -48.065232
    Unten links KachelX 126903 KachelY + 1 85546 2.94174372 -0.83892859 168.549500 -48.067068
    Unten rechts KachelX + 1 126904 KachelY + 1 85546 2.94179166 -0.83892859 168.552246 -48.067068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83889656--0.83892859) × R
    3.20299999999607e-05 × 6371000     		dl = 204.06312999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83889656--0.83892859) × R
    3.20299999999607e-05 × 6371000     		dr = 204.06312999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94174372-2.94179166) × cos(-0.83889656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668284088334271 × 6371000     		do = 204.111162209586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94174372-2.94179166) × cos(-0.83892859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668260260677115 × 6371000     		du = 204.103884629767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83889656)-sin(-0.83892859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668284088334271-0.668260260677115)×R²
    abs(2.94179166-2.94174372)×2.3827657155584e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3827657155584e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3827657155584e-05×40589641000000     		ar = 41650.82008914m²