Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12690 / 12210
↖ ↑ ↗
← S 65.820782°
E 98.833008°		 ← 1 000.72 m → S 65.820782°
E 98.854980°		 →
↑
1 000.57 m
↓
↑
1 000.57 m
↓
S 65.829781°
E 98.833008°		 ← 1 000.37 m →
1 001 112 m²		 S 65.829781°
E 98.854980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774566650390625 y=0.745269775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774566650390625 × 214)
    floor (0.774566650390625 × 16384)
    floor (12690.5)     		tx = 12690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745269775390625 × 214)
    floor (0.745269775390625 × 16384)
    floor (12210.5)     		ty = 12210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12690 / 12210 ti = "14/12690/12210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12690/12210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12690 ÷ 214
    12690 ÷ 16384     		x = 0.7745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12210 ÷ 214
    12210 ÷ 16384     		y = 0.7452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7745361328125 × 2 - 1) × π
    0.549072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72496140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.490478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54088370138709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72496140} λ = 1.72496140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54088370138709))-π/2
    2×atan(0.214191736233747)-π/2
    2×0.211003479306667-π/2
    0.422006958613333-1.57079632675     		φ = -1.14878937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72496140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14878937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.820782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12690 KachelY 12210 1.72496140 -1.14878937 98.833008 -65.820782
    Oben rechts KachelX + 1 12691 KachelY 12210 1.72534489 -1.14878937 98.854980 -65.820782
    Unten links KachelX 12690 KachelY + 1 12211 1.72496140 -1.14894642 98.833008 -65.829781
    Unten rechts KachelX + 1 12691 KachelY + 1 12211 1.72534489 -1.14894642 98.854980 -65.829781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14878937--1.14894642) × R
    0.000157049999999881 × 6371000     		dl = 1000.56554999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14878937--1.14894642) × R
    0.000157049999999881 × 6371000     		dr = 1000.56554999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72496140-1.72534489) × cos(-1.14878937) × R
    0.000383489999999931 × 0.409592160678565 × 6371000     		do = 1000.72162483775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72496140-1.72534489) × cos(-1.14894642) × R
    0.000383489999999931 × 0.40944888382162 × 6371000     		du = 1000.37156870179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14878937)-sin(-1.14894642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409592160678565-0.40944888382162)×R²
    abs(1.72534489-1.72496140)×0.000143276856944874×R²
    0.000383489999999931×0.000143276856944874×6371000²
    0.000383489999999931×0.000143276856944874×40589641000000     		ar = 1001112.45795466m²