Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 126899 / 85549
↖ ↑ ↗
← S 48.072574°
E168.538513°		 ← 204.08 m → S 48.072574°
E168.541260°		 →
↑
204.06 m
↓
↑
204.06 m
↓
S 48.074409°
E168.538513°		 ← 204.07 m →
41 645 m²		 S 48.074409°
E168.541260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968166351318359 y=0.652690887451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968166351318359 × 217)
    floor (0.968166351318359 × 131072)
    floor (126899.5)     		tx = 126899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652690887451172 × 217)
    floor (0.652690887451172 × 131072)
    floor (85549.5)     		ty = 85549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126899 / 85549 ti = "17/126899/85549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126899/85549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126899 ÷ 217
    126899 ÷ 131072     		x = 0.968162536621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85549 ÷ 217
    85549 ÷ 131072     		y = 0.652687072753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968162536621094 × 2 - 1) × π
    0.936325073242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.94155197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652687072753906 × 2 - 1) × π
    -0.305374145507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.959361172096184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94155197} λ = 2.94155197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959361172096184))-π/2
    2×atan(0.383137566780988)-π/2
    2×0.36588581938421-π/2
    0.73177163876842-1.57079632675     		φ = -0.83902469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94155197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.538513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83902469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.072574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126899 KachelY 85549 2.94155197 -0.83902469 168.538513 -48.072574
    Oben rechts KachelX + 1 126900 KachelY 85549 2.94159991 -0.83902469 168.541260 -48.072574
    Unten links KachelX 126899 KachelY + 1 85550 2.94155197 -0.83905672 168.538513 -48.074409
    Unten rechts KachelX + 1 126900 KachelY + 1 85550 2.94159991 -0.83905672 168.541260 -48.074409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83902469--0.83905672) × R
    3.20299999999607e-05 × 6371000     		dl = 204.06312999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83902469--0.83905672) × R
    3.20299999999607e-05 × 6371000     		dr = 204.06312999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94155197-2.94159991) × cos(-0.83902469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668188766152335 × 6371000     		do = 204.08204836163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94155197-2.94159991) × cos(-0.83905672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668164935752784 × 6371000     		du = 204.074769944213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83902469)-sin(-0.83905672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668188766152335-0.668164935752784)×R²
    abs(2.94159991-2.94155197)×2.3830399551561e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3830399551561e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3830399551561e-05×40589641000000     		ar = 41644.8789406352m²