Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12689 / 12241
↖ ↑ ↗
← S 66.098268°
E 98.811035°		 ← 989.94 m → S 66.098268°
E 98.833008°		 →
↑
989.80 m
↓
↑
989.80 m
↓
S 66.107170°
E 98.811035°		 ← 989.59 m →
979 671 m²		 S 66.107170°
E 98.833008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774505615234375 y=0.747161865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774505615234375 × 214)
    floor (0.774505615234375 × 16384)
    floor (12689.5)     		tx = 12689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747161865234375 × 214)
    floor (0.747161865234375 × 16384)
    floor (12241.5)     		ty = 12241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12689 / 12241 ti = "14/12689/12241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12689/12241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12689 ÷ 214
    12689 ÷ 16384     		x = 0.77447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12241 ÷ 214
    12241 ÷ 16384     		y = 0.74713134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77447509765625 × 2 - 1) × π
    0.5489501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72457790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74713134765625 × 2 - 1) × π
    -0.4942626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55277205249286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72457790} λ = 1.72457790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55277205249286))-π/2
    2×atan(0.211660426034693)-π/2
    2×0.208581956026806-π/2
    0.417163912053613-1.57079632675     		φ = -1.15363241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72457790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.811035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15363241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.098268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12689 KachelY 12241 1.72457790 -1.15363241 98.811035 -66.098268
    Oben rechts KachelX + 1 12690 KachelY 12241 1.72496140 -1.15363241 98.833008 -66.098268
    Unten links KachelX 12689 KachelY + 1 12242 1.72457790 -1.15378777 98.811035 -66.107170
    Unten rechts KachelX + 1 12690 KachelY + 1 12242 1.72496140 -1.15378777 98.833008 -66.107170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15363241--1.15378777) × R
    0.00015536000000016 × 6371000     		dl = 989.798560001018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15363241--1.15378777) × R
    0.00015536000000016 × 6371000     		dr = 989.798560001018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72457790-1.72496140) × cos(-1.15363241) × R
    0.00038349999999987 × 0.405169220440116 × 6371000     		do = 989.941245162761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72457790-1.72496140) × cos(-1.15378777) × R
    0.00038349999999987 × 0.405027178959019 × 6371000     		du = 989.594198265888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15363241)-sin(-1.15378777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405169220440116-0.405027178959019)×R²
    abs(1.72496140-1.72457790)×0.000142041481097199×R²
    0.00038349999999987×0.000142041481097199×6371000²
    0.00038349999999987×0.000142041481097199×40589641000000     		ar = 979670.667658042m²