Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 126886 / 85668
↖ ↑ ↗
← S 48.290503°
E168.502808°		 ← 203.22 m → S 48.290503°
E168.505554°		 →
↑
203.17 m
↓
↑
203.17 m
↓
S 48.292330°
E168.502808°		 ← 203.21 m →
41 287 m²		 S 48.292330°
E168.505554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968067169189453 y=0.653598785400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968067169189453 × 217)
    floor (0.968067169189453 × 131072)
    floor (126886.5)     		tx = 126886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653598785400391 × 217)
    floor (0.653598785400391 × 131072)
    floor (85668.5)     		ty = 85668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126886 / 85668 ti = "17/126886/85668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126886/85668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126886 ÷ 217
    126886 ÷ 131072     		x = 0.968063354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85668 ÷ 217
    85668 ÷ 131072     		y = 0.653594970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968063354492188 × 2 - 1) × π
    0.936126708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.94092879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653594970703125 × 2 - 1) × π
    -0.30718994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.96506566315097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94092879} λ = 2.94092879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.96506566315097))-π/2
    2×atan(0.380958184003291)-π/2
    2×0.363984024114616-π/2
    0.727968048229231-1.57079632675     		φ = -0.84282828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94092879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.502808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84282828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.290503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126886 KachelY 85668 2.94092879 -0.84282828 168.502808 -48.290503
    Oben rechts KachelX + 1 126887 KachelY 85668 2.94097673 -0.84282828 168.505554 -48.290503
    Unten links KachelX 126886 KachelY + 1 85669 2.94092879 -0.84286017 168.502808 -48.292330
    Unten rechts KachelX + 1 126887 KachelY + 1 85669 2.94097673 -0.84286017 168.505554 -48.292330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84282828--0.84286017) × R
    3.18900000000344e-05 × 6371000     		dl = 203.171190000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84282828--0.84286017) × R
    3.18900000000344e-05 × 6371000     		dr = 203.171190000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94092879-2.94097673) × cos(-0.84282828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665354099833964 × 6371000     		do = 203.216268303689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94092879-2.94097673) × cos(-0.84286017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665330292720564 × 6371000     		du = 203.208996998462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84282828)-sin(-0.84286017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665354099833964-0.665330292720564)×R²
    abs(2.94097673-2.94092879)×2.38071133995543e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38071133995543e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38071133995543e-05×40589641000000     		ar = 41286.9524022491m²