Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 126884 / 85556
↖ ↑ ↗
← S 48.085419°
E168.497315°		 ← 203.99 m → S 48.085419°
E168.500061°		 →
↑
204 m
↓
↑
204 m
↓
S 48.087253°
E168.497315°		 ← 203.98 m →
41 613 m²		 S 48.087253°
E168.500061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968051910400391 y=0.652744293212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968051910400391 × 217)
    floor (0.968051910400391 × 131072)
    floor (126884.5)     		tx = 126884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652744293212891 × 217)
    floor (0.652744293212891 × 131072)
    floor (85556.5)     		ty = 85556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126884 / 85556 ti = "17/126884/85556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126884/85556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126884 ÷ 217
    126884 ÷ 131072     		x = 0.968048095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85556 ÷ 217
    85556 ÷ 131072     		y = 0.652740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968048095703125 × 2 - 1) × π
    0.93609619140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.94083292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.30548095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.959696730393524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94083292} λ = 2.94083292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959696730393524))-π/2
    2×atan(0.383009023359543)-π/2
    2×0.365773725235447-π/2
    0.731547450470895-1.57079632675     		φ = -0.83924888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94083292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.497315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83924888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.085419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126884 KachelY 85556 2.94083292 -0.83924888 168.497315 -48.085419
    Oben rechts KachelX + 1 126885 KachelY 85556 2.94088085 -0.83924888 168.500061 -48.085419
    Unten links KachelX 126884 KachelY + 1 85557 2.94083292 -0.83928090 168.497315 -48.087253
    Unten rechts KachelX + 1 126885 KachelY + 1 85557 2.94088085 -0.83928090 168.500061 -48.087253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83924888--0.83928090) × R
    3.20200000000215e-05 × 6371000     		dl = 203.999420000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83924888--0.83928090) × R
    3.20200000000215e-05 × 6371000     		dr = 203.999420000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94083292-2.94088085) × cos(-0.83924888) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66802195384399 × 6371000     		do = 203.988539910492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94083292-2.94088085) × cos(-0.83928090) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.667998126088618 × 6371000     		du = 203.981263818741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83924888)-sin(-0.83928090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66802195384399-0.667998126088618)×R²
    abs(2.94088085-2.94083292)×2.38277553712418e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38277553712418e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38277553712418e-05×40589641000000     		ar = 41612.8016727477m²