Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 126881 / 85857
↖ ↑ ↗
← S 48.634724°
E168.489075°		 ← 201.80 m → S 48.634724°
E168.491821°		 →
↑
201.83 m
↓
↑
201.83 m
↓
S 48.636539°
E168.489075°		 ← 201.79 m →
40 729 m²		 S 48.636539°
E168.491821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968029022216797 y=0.655040740966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968029022216797 × 217)
    floor (0.968029022216797 × 131072)
    floor (126881.5)     		tx = 126881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655040740966797 × 217)
    floor (0.655040740966797 × 131072)
    floor (85857.5)     		ty = 85857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126881 / 85857 ti = "17/126881/85857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126881/85857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126881 ÷ 217
    126881 ÷ 131072     		x = 0.968025207519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85857 ÷ 217
    85857 ÷ 131072     		y = 0.655036926269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968025207519531 × 2 - 1) × π
    0.936050415039062 × 3.1415926535     		Λ = 2.94068911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655036926269531 × 2 - 1) × π
    -0.310073852539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.974125737179161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94068911} λ = 2.94068911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974125737179161))-π/2
    2×atan(0.377522263006949)-π/2
    2×0.360980133577774-π/2
    0.721960267155547-1.57079632675     		φ = -0.84883606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94068911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.489075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84883606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.634724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126881 KachelY 85857 2.94068911 -0.84883606 168.489075 -48.634724
    Oben rechts KachelX + 1 126882 KachelY 85857 2.94073704 -0.84883606 168.491821 -48.634724
    Unten links KachelX 126881 KachelY + 1 85858 2.94068911 -0.84886774 168.489075 -48.636539
    Unten rechts KachelX + 1 126882 KachelY + 1 85858 2.94073704 -0.84886774 168.491821 -48.636539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84883606--0.84886774) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dl = 201.833279999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84883606--0.84886774) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dr = 201.833279999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94068911-2.94073704) × cos(-0.84883606) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.660857143944178 × 6371000     		do = 201.80067901492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94068911-2.94073704) × cos(-0.84886774) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.660833367401405 × 6371000     		du = 201.793418561553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84883606)-sin(-0.84886774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660857143944178-0.660833367401405)×R²
    abs(2.94073704-2.94068911)×2.37765427726355e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37765427726355e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37765427726355e-05×40589641000000     		ar = 40729.3602546113m²