Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12688 / 12207
↖ ↑ ↗
← S 65.793769°
E 98.789063°		 ← 1 001.77 m → S 65.793769°
E 98.811035°		 →
↑
1 001.58 m
↓
↑
1 001.58 m
↓
S 65.802776°
E 98.789063°		 ← 1 001.42 m →
1 003 185 m²		 S 65.802776°
E 98.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774444580078125 y=0.745086669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774444580078125 × 214)
    floor (0.774444580078125 × 16384)
    floor (12688.5)     		tx = 12688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745086669921875 × 214)
    floor (0.745086669921875 × 16384)
    floor (12207.5)     		ty = 12207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12688 / 12207 ti = "14/12688/12207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12688/12207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12688 ÷ 214
    12688 ÷ 16384     		x = 0.7744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12207 ÷ 214
    12207 ÷ 16384     		y = 0.74505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7744140625 × 2 - 1) × π
    0.548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72419441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.4901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5397332157962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72419441} λ = 1.72419441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5397332157962))-π/2
    2×atan(0.21443830254827)-π/2
    2×0.211239217926729-π/2
    0.422478435853458-1.57079632675     		φ = -1.14831789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72419441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14831789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.793769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12688 KachelY 12207 1.72419441 -1.14831789 98.789063 -65.793769
    Oben rechts KachelX + 1 12689 KachelY 12207 1.72457790 -1.14831789 98.811035 -65.793769
    Unten links KachelX 12688 KachelY + 1 12208 1.72419441 -1.14847510 98.789063 -65.802776
    Unten rechts KachelX + 1 12689 KachelY + 1 12208 1.72457790 -1.14847510 98.811035 -65.802776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14831789--1.14847510) × R
    0.000157210000000019 × 6371000     		dl = 1001.58491000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14831789--1.14847510) × R
    0.000157210000000019 × 6371000     		dr = 1001.58491000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72419441-1.72457790) × cos(-1.14831789) × R
    0.000383490000000153 × 0.4100222316054 × 6371000     		do = 1001.77238048752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72419441-1.72457790) × cos(-1.14847510) × R
    0.000383490000000153 × 0.409878839145317 × 6371000     		du = 1001.42204190827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14831789)-sin(-1.14847510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4100222316054-0.409878839145317)×R²
    abs(1.72457790-1.72419441)×0.00014339246008277×R²
    0.000383490000000153×0.00014339246008277×6371000²
    0.000383490000000153×0.00014339246008277×40589641000000     		ar = 1003184.65470085m²