Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12687 / 12178
↖ ↑ ↗
← S 65.531171°
E 98.767090°		 ← 1 012 m → S 65.531171°
E 98.789063°		 →
↑
1 011.78 m
↓
↑
1 011.78 m
↓
S 65.540270°
E 98.767090°		 ← 1 011.65 m →
1 023 743 m²		 S 65.540270°
E 98.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774383544921875 y=0.743316650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774383544921875 × 214)
    floor (0.774383544921875 × 16384)
    floor (12687.5)     		tx = 12687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743316650390625 × 214)
    floor (0.743316650390625 × 16384)
    floor (12178.5)     		ty = 12178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12687 / 12178 ti = "14/12687/12178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12687/12178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12687 ÷ 214
    12687 ÷ 16384     		x = 0.77435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12178 ÷ 214
    12178 ÷ 16384     		y = 0.7432861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77435302734375 × 2 - 1) × π
    0.5487060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72381091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7432861328125 × 2 - 1) × π
    -0.486572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52861185508435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72381091} λ = 1.72381091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52861185508435))-π/2
    2×atan(0.216836458924519)-π/2
    2×0.213530815313131-π/2
    0.427061630626262-1.57079632675     		φ = -1.14373470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72381091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.767090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14373470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.531171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12687 KachelY 12178 1.72381091 -1.14373470 98.767090 -65.531171
    Oben rechts KachelX + 1 12688 KachelY 12178 1.72419441 -1.14373470 98.789063 -65.531171
    Unten links KachelX 12687 KachelY + 1 12179 1.72381091 -1.14389351 98.767090 -65.540270
    Unten rechts KachelX + 1 12688 KachelY + 1 12179 1.72419441 -1.14389351 98.789063 -65.540270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14373470--1.14389351) × R
    0.000158810000000065 × 6371000     		dl = 1011.77851000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14373470--1.14389351) × R
    0.000158810000000065 × 6371000     		dr = 1011.77851000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72381091-1.72419441) × cos(-1.14373470) × R
    0.00038349999999987 × 0.414198126031731 × 6371000     		do = 1012.00137607328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72381091-1.72419441) × cos(-1.14389351) × R
    0.00038349999999987 × 0.414053574052058 × 6371000     		du = 1011.64819532921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14373470)-sin(-1.14389351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414198126031731-0.414053574052058)×R²
    abs(1.72419441-1.72381091)×0.000144551979673002×R²
    0.00038349999999987×0.000144551979673002×6371000²
    0.00038349999999987×0.000144551979673002×40589641000000     		ar = 1023742.57621007m²