Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12686 / 12294
↖ ↑ ↗
← S 66.565747°
E 98.745117°		 ← 971.66 m → S 66.565747°
E 98.767090°		 →
↑
971.45 m
↓
↑
971.45 m
↓
S 66.574483°
E 98.745117°		 ← 971.32 m →
943 751 m²		 S 66.574483°
E 98.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774322509765625 y=0.750396728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774322509765625 × 214)
    floor (0.774322509765625 × 16384)
    floor (12686.5)     		tx = 12686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750396728515625 × 214)
    floor (0.750396728515625 × 16384)
    floor (12294.5)     		ty = 12294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12686 / 12294 ti = "14/12686/12294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12686/12294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12686 ÷ 214
    12686 ÷ 16384     		x = 0.7742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12294 ÷ 214
    12294 ÷ 16384     		y = 0.7503662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7742919921875 × 2 - 1) × π
    0.548583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72342742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.500732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57309729793176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72342742} λ = 1.72342742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57309729793176))-π/2
    2×atan(0.207401801329699)-π/2
    2×0.20450244058959-π/2
    0.409004881179179-1.57079632675     		φ = -1.16179145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72342742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.745117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16179145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.565747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12686 KachelY 12294 1.72342742 -1.16179145 98.745117 -66.565747
    Oben rechts KachelX + 1 12687 KachelY 12294 1.72381091 -1.16179145 98.767090 -66.565747
    Unten links KachelX 12686 KachelY + 1 12295 1.72342742 -1.16194393 98.745117 -66.574483
    Unten rechts KachelX + 1 12687 KachelY + 1 12295 1.72381091 -1.16194393 98.767090 -66.574483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16179145--1.16194393) × R
    0.000152480000000121 × 6371000     		dl = 971.450080000773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16179145--1.16194393) × R
    0.000152480000000121 × 6371000     		dr = 971.450080000773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72342742-1.72381091) × cos(-1.16179145) × R
    0.000383490000000153 × 0.397696482556931 × 6371000     		do = 971.657928114458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72342742-1.72381091) × cos(-1.16194393) × R
    0.000383490000000153 × 0.39755657493687 × 6371000     		du = 971.316103747892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16179145)-sin(-1.16194393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397696482556931-0.39755657493687)×R²
    abs(1.72381091-1.72342742)×0.000139907620060553×R²
    0.000383490000000153×0.000139907620060553×6371000²
    0.000383490000000153×0.000139907620060553×40589641000000     		ar = 943751.141175114m²