Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 126859 / 85804
↖ ↑ ↗
← S 48.538432°
E168.428650°		 ← 202.19 m → S 48.538432°
E168.431396°		 →
↑
202.22 m
↓
↑
202.22 m
↓
S 48.540250°
E168.428650°		 ← 202.18 m →
40 884 m²		 S 48.540250°
E168.431396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.967861175537109 y=0.654636383056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.967861175537109 × 217)
    floor (0.967861175537109 × 131072)
    floor (126859.5)     		tx = 126859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654636383056641 × 217)
    floor (0.654636383056641 × 131072)
    floor (85804.5)     		ty = 85804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126859 / 85804 ti = "17/126859/85804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126859/85804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126859 ÷ 217
    126859 ÷ 131072     		x = 0.967857360839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85804 ÷ 217
    85804 ÷ 131072     		y = 0.654632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.967857360839844 × 2 - 1) × π
    0.935714721679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.93963450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.30926513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.971585081499298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93963450} λ = 2.93963450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971585081499298))-π/2
    2×atan(0.3784826365614)-π/2
    2×0.361820439300735-π/2
    0.723640878601471-1.57079632675     		φ = -0.84715545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93963450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.428650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84715545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.538432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126859 KachelY 85804 2.93963450 -0.84715545 168.428650 -48.538432
    Oben rechts KachelX + 1 126860 KachelY 85804 2.93968243 -0.84715545 168.431396 -48.538432
    Unten links KachelX 126859 KachelY + 1 85805 2.93963450 -0.84718719 168.428650 -48.540250
    Unten rechts KachelX + 1 126860 KachelY + 1 85805 2.93968243 -0.84718719 168.431396 -48.540250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84715545--0.84718719) × R
    3.17399999999468e-05 × 6371000     		dl = 202.215539999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84715545--0.84718719) × R
    3.17399999999468e-05 × 6371000     		dr = 202.215539999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93963450-2.93968243) × cos(-0.84715545) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662117527566077 × 6371000     		do = 202.185552316282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93963450-2.93968243) × cos(-0.84718719) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662093741276147 × 6371000     		du = 202.178288886503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84715545)-sin(-0.84718719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662117527566077-0.662093741276147)×R²
    abs(2.93968243-2.93963450)×2.37862899307162e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37862899307162e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37862899307162e-05×40589641000000     		ar = 40884.3262560244m²