Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 126853 / 85749
↖ ↑ ↗
← S 48.438312°
E168.412170°		 ← 202.63 m → S 48.438312°
E168.414917°		 →
↑
202.60 m
↓
↑
202.60 m
↓
S 48.440134°
E168.412170°		 ← 202.62 m →
41 051 m²		 S 48.440134°
E168.414917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.967815399169922 y=0.654216766357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.967815399169922 × 217)
    floor (0.967815399169922 × 131072)
    floor (126853.5)     		tx = 126853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654216766357422 × 217)
    floor (0.654216766357422 × 131072)
    floor (85749.5)     		ty = 85749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126853 / 85749 ti = "17/126853/85749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126853/85749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126853 ÷ 217
    126853 ÷ 131072     		x = 0.967811584472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85749 ÷ 217
    85749 ÷ 131072     		y = 0.654212951660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.967811584472656 × 2 - 1) × π
    0.935623168945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.93934687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654212951660156 × 2 - 1) × π
    -0.308425903320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.968948552020195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93934687} λ = 2.93934687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968948552020195))-π/2
    2×atan(0.379481833817725)-π/2
    2×0.362694147907716-π/2
    0.725388295815431-1.57079632675     		φ = -0.84540803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93934687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.412170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84540803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.438312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126853 KachelY 85749 2.93934687 -0.84540803 168.412170 -48.438312
    Oben rechts KachelX + 1 126854 KachelY 85749 2.93939481 -0.84540803 168.414917 -48.438312
    Unten links KachelX 126853 KachelY + 1 85750 2.93934687 -0.84543983 168.412170 -48.440134
    Unten rechts KachelX + 1 126854 KachelY + 1 85750 2.93939481 -0.84543983 168.414917 -48.440134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84540803--0.84543983) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dl = 202.597800000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84540803--0.84543983) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dr = 202.597800000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93934687-2.93939481) × cos(-0.84540803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663426032590654 × 6371000     		do = 202.627386939132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93934687-2.93939481) × cos(-0.84543983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663402238163681 × 6371000     		du = 202.620119508666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84540803)-sin(-0.84543983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663426032590654-0.663402238163681)×R²
    abs(2.93939481-2.93934687)×2.37944269727564e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37944269727564e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37944269727564e-05×40589641000000     		ar = 41051.1266343672m²