Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 126851 / 85766
↖ ↑ ↗
← S 48.469279°
E168.406677°		 ← 202.50 m → S 48.469279°
E168.409424°		 →
↑
202.47 m
↓
↑
202.47 m
↓
S 48.471100°
E168.406677°		 ← 202.50 m →
41 000 m²		 S 48.471100°
E168.409424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.967800140380859 y=0.654346466064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.967800140380859 × 217)
    floor (0.967800140380859 × 131072)
    floor (126851.5)     		tx = 126851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654346466064453 × 217)
    floor (0.654346466064453 × 131072)
    floor (85766.5)     		ty = 85766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126851 / 85766 ti = "17/126851/85766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126851/85766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126851 ÷ 217
    126851 ÷ 131072     		x = 0.967796325683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85766 ÷ 217
    85766 ÷ 131072     		y = 0.654342651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.967796325683594 × 2 - 1) × π
    0.935592651367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.93925100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654342651367188 × 2 - 1) × π
    -0.308685302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.969763479313736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93925100} λ = 2.93925100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969763479313736))-π/2
    2×atan(0.379172709687896)-π/2
    2×0.362423908329959-π/2
    0.724847816659918-1.57079632675     		φ = -0.84594851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93925100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.406677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84594851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.469279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126851 KachelY 85766 2.93925100 -0.84594851 168.406677 -48.469279
    Oben rechts KachelX + 1 126852 KachelY 85766 2.93929894 -0.84594851 168.409424 -48.469279
    Unten links KachelX 126851 KachelY + 1 85767 2.93925100 -0.84598029 168.406677 -48.471100
    Unten rechts KachelX + 1 126852 KachelY + 1 85767 2.93929894 -0.84598029 168.409424 -48.471100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84594851--0.84598029) × R
    3.17799999999258e-05 × 6371000     		dl = 202.470379999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84594851--0.84598029) × R
    3.17799999999258e-05 × 6371000     		dr = 202.470379999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93925100-2.93929894) × cos(-0.84594851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663021525943718 × 6371000     		do = 202.503840197157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93925100-2.93929894) × cos(-0.84598029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662997735090376 × 6371000     		du = 202.496573858169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84594851)-sin(-0.84598029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663021525943718-0.662997735090376)×R²
    abs(2.93929894-2.93925100)×2.37908533424758e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37908533424758e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37908533424758e-05×40589641000000     		ar = 41000.293870175m²