Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12684 / 12299
↖ ↑ ↗
← S 66.609400°
E 98.701172°		 ← 969.97 m → S 66.609400°
E 98.723145°		 →
↑
969.79 m
↓
↑
969.79 m
↓
S 66.618122°
E 98.701172°		 ← 969.63 m →
940 510 m²		 S 66.618122°
E 98.723145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774200439453125 y=0.750701904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774200439453125 × 214)
    floor (0.774200439453125 × 16384)
    floor (12684.5)     		tx = 12684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750701904296875 × 214)
    floor (0.750701904296875 × 16384)
    floor (12299.5)     		ty = 12299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12684 / 12299 ti = "14/12684/12299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12684/12299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12684 ÷ 214
    12684 ÷ 16384     		x = 0.774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12299 ÷ 214
    12299 ÷ 16384     		y = 0.75067138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774169921875 × 2 - 1) × π
    0.54833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72266042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75067138671875 × 2 - 1) × π
    -0.5013427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57501477391656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72266042} λ = 1.72266042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57501477391656))-π/2
    2×atan(0.207004494391433)-π/2
    2×0.204121489100818-π/2
    0.408242978201636-1.57079632675     		φ = -1.16255335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72266042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16255335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.609400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12684 KachelY 12299 1.72266042 -1.16255335 98.701172 -66.609400
    Oben rechts KachelX + 1 12685 KachelY 12299 1.72304392 -1.16255335 98.723145 -66.609400
    Unten links KachelX 12684 KachelY + 1 12300 1.72266042 -1.16270557 98.701172 -66.618122
    Unten rechts KachelX + 1 12685 KachelY + 1 12300 1.72304392 -1.16270557 98.723145 -66.618122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16255335--1.16270557) × R
    0.000152219999999925 × 6371000     		dl = 969.793619999523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16255335--1.16270557) × R
    0.000152219999999925 × 6371000     		dr = 969.793619999523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72266042-1.72304392) × cos(-1.16255335) × R
    0.000383500000000092 × 0.396997310966595 × 6371000     		do = 969.974994442728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72266042-1.72304392) × cos(-1.16270557) × R
    0.000383500000000092 × 0.396857595841942 × 6371000     		du = 969.633631482539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16255335)-sin(-1.16270557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396997310966595-0.396857595841942)×R²
    abs(1.72304392-1.72266042)×0.000139715124652828×R²
    0.000383500000000092×0.000139715124652828×6371000²
    0.000383500000000092×0.000139715124652828×40589641000000     		ar = 940510.037175796m²